H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y课程设计说明书（论文）课程名称：控制系统设计课程设计设计题目：直线一级倒立摆控制器设计院系：航天学院自动化专业班级：设计者：学号：指导教师：设计时间： 09.08.31 ——09.09.18工业大学目录1.任务书-----------------------------------------------------------22.理论模型建立和分析-----------------------------------------43.PID控制器设计与调节--------------------------------------94.状态空间极点配置控制器设计----------------------------155.问题的进一步讨论-------------------------------------------246.设计结论与心得体会----------------------------------------25*注：此任务书由课程设计指导教师填写。

第一章 理论模型的建立及分析1.1直线一阶倒立摆数学模型的推导系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。

实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。

这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等容。

机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统部的输入－状态关系。

对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。

但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系应用经典力学理论建立系统的动力学方程。

下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统. 下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。

其中，N 和P 为小车与摆杆水平和垂直方向的分量。

b pI θx图1-1（a ）小车隔离受力图 （b ）摆杆隔离受力图本系统相关参数定义如下：M : 小车质量 m ：摆杆质量b ：小车摩擦系数 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I ：摆杆惯量 F ：加在小车上的力x ：小车位置 φ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。

应用牛顿方法来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向受到的合力，可以得到下面等式：Mx F bx N =--&&& （1-1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：()22sin d N m x l dt θ=+（1-2）2cos sin N mx ml ml θθθθ=+-&&&&& （1-3）把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：()2cos sin M m x bx ml ml F θθθθ+++-=&&&&&&（1-4）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：()22cos d P mg m l dt θ-=-（1-5）2sin cos P mg ml ml θθθθ-=+&&&（1-6）力矩平衡方程如下：sin cos Pl Nl I θθθ--=&&（1-7）注意：此方程中力矩的方向，由于错误!未找到引用源。

,cos cos ,sin sin θπφφθφθ=+=-=-错误!未找到引用源。

，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：()22sin cos I ml mgl mlx θθθ++=-&&&&（1-8）1.1.1微分方程模型设错误!未找到引用源。

（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位是弧度）相比很小,即1φ=，则可以进行近似处理：错误!未找到引用源。

2cos 1,sin ,()0d dtθθθφ=-=-=错误!未找到引用源。

用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：()()2M m x bx ml u I ml mgl mlx φφφ⎧++-=⎪⎨+-=⎪⎩&&&&&&&&& （1-9）1.1.2传递函数对以上微分方程组进行拉普拉斯变换，得到()()22222()()()()()()()M m X s s bX s ml s s U s I ml s s mgl s mlX s s ⎧++-Φ=⎪⎨+Φ-Φ=⎪⎩ （1-10）注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度为φ，求解方程组上述方程组的第一个方程，可以得到()22()()I ml g X s s ml s ⎡⎤+⎢⎥=-Φ⎢⎥⎣⎦ （1-11）或者()222()()s mls X s I ml s mglΦ=+- （1-12）如果令xν=&&，则有()222()0.06()0.0240.588s ml V s s I ml s mgl Φ==-+- （1-13）把上式代入10式，则有：()()()222222()()()()I ml I ml g g M m s s b s s ml s s U s ml s ml s ⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥+-Φ+-Φ-Φ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（1-14） 整理得到以输入力为输入量，摆杆角度为输出量的传递函数：()()212432()()()ml s s q G s U s b I ml M m mgl bmgl s s s sqqqΦ==+++-- （1-15）其中()()()22q M m I ml ml ⎡⎤=++-⎣⎦1.1.3状态空间数学模型由现代控制原理可知，控制系统的状态方程可写成如下形式：XAX Bu Y CX Du =+=+&（1-16）可得代数方程，得到如下解：()()()()()()()()()2222222222x x I ml b I ml m gl x x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml mgl M m mlb ml x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφφ=⎧⎪-++⎪=++⎪++++++⎪⎨=⎪⎪+-⎪=++⎪++++++⎩&&&&&&&&&& （1-17）整理后得到系统状态空间方程：()()()()()()()()()22222222220100000000100010000010x x I ml b I ml m gl x x I M m Mml I M m Mml I M m Mml u mlb mgl M m ml I M m Mml I M m Mml I M m Mmlx y φφφφφ-++++++++=+-+++++++==⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦&&&&&&&&00x xu φφ+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎡⎤⎪⎢⎥⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎢⎥⎩⎣⎦&&（1-18）由(1-9)的第二个方程为:()2I ml mgl mlx φφ+-=&&&& 对于质量均匀分布的摆杆有:21=3I ml 于是可以得到:2213ml ml mgl mlx φφ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭&& 化简得到:3344g xl lφφ==+&&&& （1-19）设TX x x φφ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦g g，'u x =g g ，则有：'01000000010001000010000001003344x x x x x x xy u u gll φφφφφφφ=+==+⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎪⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎢⎥⎪⎩⎣⎦&&&&&&&&&& （1-20） 实际系统参数如下：M : 小车质量 0.5kg m ：摆杆质量 0.2kgb ：小车摩擦系数 0.1N/m/sec l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.3m I ：摆杆惯量 0.006kg*m*m把上述参数带入，可以得到系统的实际模型。

摆杆角度和小车位移的传递函数：22()0.06()0.0240.588s s X s s Φ=- （1-21） 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数：2()0.06()0.0240.588s V s s Φ=- （1-22） 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数2432()50()11237349s s U s s s s sΦ=+-- （1-23） 以外界作用力作为输入的系统状态方程：010********-0551100001503430-011111000000100211511x x x x u x xxy u φφφφφφφ=+==+⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎢⎥⎩⎣⎦&&&&&&&&&&（1-24） 以小车加速度作为输入系统的系统状态方程：'100000001000100001000010024.5 2.5x x xxx x xy u u φφφφφφφ=+==+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&&&&&&&&&& （1-25）1.2系统阶跃响应分析在matlab 中键入以下命令：得到如下结果：图1-2 直线一阶校正前倒立摆单位阶跃响应仿真可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。