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墙角模型
【典例7】已知三棱锥S ABC -，满足,,SA SB SC 两两垂直，且2SA SB SC ===，Q 是三棱锥S ABC -外
接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值
为 .
【解析】如图，三棱锥S ABC -满足,,SA SB SC 两两垂直，由2SA SB SC ===，
则AB BC AC ===体中，则正方体的棱长为2，正方体对角线即为正方
体的外接球亦即三棱锥外接球的直径，而2R =
所以球的半径为R =
因为Q 是三棱锥S ABC -外接球上一动点，所以点Q 到平面ABC
的距离的最大值为3
. 【试题点评】本题具有三条棱两两垂直或三个平面两两垂直的特征，应用数学建模素养，构建“两两垂直垂直”模型，亦即“墙角”模型，如图所示，将三棱锥放入伴随长方体中，将棱锥的外接球转化为长方体的外接球，不用找出球心的具体位置，这是处理此类问题的简捷的途径
.
B S
C A
2
【典例8】四面体A BCD -
中，10,AB CD AC BD AD BC ======则四面体A BCD -外接球的表面积为 （ ）
A ．50π
B ．100π
C ．200π
D ．300π
【解析】如图，将四面体A BCD -放入长方体中，则四面体的外接球亦即长方体的外接球，
设长方体的长、宽、高为,,x y z
，则(
(2
2222222210x y y z x z ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩，解得1086x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，
因为长方体对角线即为长方体的外接球亦即四面体
外接球的直径，而2R =，
所以球的半径为R =四面体A BCD -的外接球的表面积为24200S R ==ππ.
【试题点评】本题四面体A BCD -的对棱两两相等，也可灵活地应用“墙角”模型，将它放入伴随长方体中，所有的棱都是伴随长方体表面的对角线，易得四面体A BCD -外接球亦即伴随长方体的外接球.如果将正四面体纳入正方体中得到其伴随正方体，正四面体的外接球和其伴随正方体的外接球是同一个球，利用这种伴随关系可以简化求正四面体的有关问题.
【典例9】（2018届成都一诊）在三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=o ，2PA AB AC ===，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为
A
． B ．18π C ．20π D
．
【解析】法一 该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥P ABC -，120BAC ∠=o ，
2PA AB AC ===，所以该三棱锥的外接球即为该六C A D
B
A
C B
P
3
棱柱的外接球，因为六棱柱的外接球的直径为2R ==
R =球的表面积为2420R =ππ。

法二 取该三棱锥的底边BC 的中点为E ，连接AE ，则A E B C ⊥，以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系E xyz -，如图所示，则
(
)()
()(),0,,1,0,0,1,0,2B C A P --，
设球心为(),,M x y z ，于是有MA MB MC MP ===， 则 (
)((
)(()()()22222222222222222211112x y z x y z x y z x y z
x y z x y z ⎧+++=++⎪⎪⎪+++=++⎨⎪⎪+++=+++-⎪⎩
， 解得101x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，所以()1,0,1M ，
所以
外接球的半径为MA ==表
面积为2420R =ππ. 【试题点评】本题通过两种方法求解：方法一采用补形法，可以灵活应用“墙角”模型，把三棱锥补成正六棱柱，三棱锥的外接球和正六棱柱的外接球是同一个球，可转化为求该六棱柱的外接球的表面积；方法二是坐标法计算，关键是找出两两垂直的三条直线建坐标系，设出球心坐标，利用球心到球面上各顶点的距离都等于半径，求解球心坐标，即可解决问题.显然补形法比较快捷、易于理解.。