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例 一些常用的变换
乘法运算变换
①对数变换 A B AB 为加法运算
lg A lg B lg AB
②相量法
正弦量 i1 i2 i
时域的正弦运算 变换为复数运算
相量 I1 I2 I
拉氏变换
对应
f(t)(时域原函数)
F(s)(频域象函数)
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2. 拉氏变换的定义
本章重点
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重点 (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电
路的方法和步骤 (3) 网络函数的概念 (4) 网络函数的极点和零点
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14.1 拉普拉斯变换的定义
1. 拉氏变换法
拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把 时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问 题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微 分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用拉 氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法， 又称运算法。
相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各 函数的象函数再进行相乘及加减计算。
例1 求: f(t)K(1eat)的象函数
解
F (s ) L K ]- [L K a et
K s
-
s
K
a
Ka
s(s a)
例2 求: f(t)sin(t)的象函数
解
F (s)L si(ω n)tL21j(ejt
0
1 s
1 s
1 s2
L[t2(t)] L[2
t
tdt]
0
2 s3
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4. f(t)tn
第14章 线性动态电路的 复频域分析
14.1 拉普拉斯变换的定义 14.2 拉普拉斯变换的基本性质 14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 14.4 运算电路 14.5 用拉普拉斯变换法分析线性电路
14.6 网络函数的定义 14.7 网络函数的极点和零点 14.8 极点、零点与冲激响应 14.9 极点、零点与频率响应
ejt
)
21js1js1j
s2
2
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2. 微分性质
若 L f： (t)F (s) 利用 udvu vvdu
则L： dfd(tt)sF(s)f(0)
证
L
df (t dt
)
df(t)esd ttesd tf(t)
0
0
dt
0
estf(t)f(t) (sest)dt
0
0
f(0)sF (s) 若足够大
原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)
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3.典型函数的拉氏变换
F(s) f(t)estdt 0
(1)单位阶跃函数的象函数
f(t)(t)
F (s)L [(t) ](t)e sd tt estdt
0
0
1 est s 0
1 s
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(2)单位冲激函数的象函数
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例 利用导数性质求下列函数的象函数
(1)f(t)co(st)的象函数
解 dsi nt)(co( st)
dt
co(st)1d(dstitn)
L[co t]sL 1ddt(sint)(
1s
s2
2
0
s2
s
2
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(2) f(t)δ(t)的象函数
解 (t) d(t)
dt
L[ (t)] 1
A 1F 1(s)A 2F 2(s)
证 L A 1 f1 (t) A 2 f2 (t)0 A 1f1(t)A 2f2(t)esd tt
0 A 1f1(t)e sd tt0 A 2f2(t)e sd tt
A 1F 1(s)A 2F 2(s)
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结论 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数
f(t)(t)
F(s)L[(t)](t)esdtt 0 (t)estdt
0
0
es0 1
(3)指数函数的象函数 f (t) eat
F(s)Leateaetsd t t
0
s
1 e(sa)t a
0
1 sa
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f1(t)
f2(t)
f3(t)
1 e-t
1 e-t
1 e-t
t
t
t
0
[0 ,0＋]区间
f(t) =(t)时此项 0
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如果存在有限常数M和 c 使函数 f(t) 满足：
f(t)Mctet[0,)
f(t)estdtM(s ec)tdt M
0
0
sc
则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可以
找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。
③象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)
0
0
三个函数的拉氏变换式相同
F(s) 1
s
f(t)L 1[F (s)]t0
14.2 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质 若 L f 1 ( t ) ] [ F 1 ( s ) , L f 2 ( t ) ] [ F 2 ( s )
则 L A 1 f 1 ( t ) A 2 f 2 ( t ) A 1 L f 1 ( t ) A 2 L f 2 ( t )
定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：
F(s) f (t)estdt
0
f (t)
1
c j F(s)estds
2πj cj
正变换 反变换
简 F ( s ) L 写 f ( t ) ， f ( t ) L - F ( 1 s )
s 复频率 sj
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注意
s
L(t)L[d(t)] s 1 0 1
dt
s

推广：L[
d
2f dt
(t)
2
]
s[sF (s)f(0) ]f'(0)
s2F(s)s(f0)f'(0)
dn f L[
dt
(t) n]
sn F (s) sn 1f(0 ) fn 1 (0 )
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3.积分性质
若L [： f(t) ]F(s)
则L： [t f()d]1F(s)
0
s
证 令L[t f(t)dt](s) 0
应用微分性质
L[f(t)]L
d dt
t 0
F(s)s(s)t
0
f(t)dt0 f(t)dtt0
(s) F(s)
s
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例 求 : f(t)t(t)和 f(t)t2(t)的象函
解
Lt(t)
L[
(t)dt]
① 积分域
0
0 0
积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 积分下限从0 + 开始，称为0 + 拉氏变换 。
今后讨论的均为0 拉氏变换。
F (s ) f (t)e sd tt 0 f(t)e sd tt f(t)e sd tt
0
0
0
②象函数F(s) 存在的条件：
f(t)est dt 0