我们已经知道 S△ABC＝12aha＝12bhb＝12chc(其中 ha，hb，hc 分 别为 a，b，c 边上的高)．学习了正弦定理后，你还能得到哪些 计算三角形面积的公式？
探究 1 当△ABC 为锐角三角形时，证明：S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B.
证明 作AD⊥BC，垂足为D， 则AD＝AB·sin B，又AD＝AC·sin C， ∴csin B＝bsin C.
( D)
1
1
1
三角形面积公式：S＝ 2absin C ＝ 2bcsin A＝ 2acsin B.
例 在△ABC 中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC 的面积．
解 如图，由正弦定理，得sin 7120°＝sin5 C，
∴sin C＝5143，且∠C为锐角(∠A＝120°)．
∴cos C＝1114.
∴sin
B＝sin(180°－120°－∠C)＝sin(60°－∠C)＝
3 2 cos
解析 ∵cos C＝13，∴sin C＝232， ∴12absin C＝4 3，∴b＝2 3.
2．已知△ABC 的面积为 3且 b＝2，c＝2，则∠A 等于

A．30°
B．30°或 150°
C．60°
D．60°或 120°
解析 S＝12bcsin A＝12×2×2×sin A＝ 3，
∴sin A＝ 23，∴A＝60°或120°.
AD＝AB·sin∠ABD＝AB·sin(180°－B) ＝ABsin B＝csin B.
又AD＝AC·sin C＝bsin C，∴csin B＝bsin C，
D
∴S△ABC＝12BC·AD＝12acsin B＝12absin C.
同理S△ABC＝12bcsin A＝12acsin B.
所以S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B.
C－12sin
C
＝ 23×1114－12×5143＝3143.
∴S△ABC＝12AB·BC·sin
B＝12×5×7×3143＝154
3 .
小结 题目条件或结论中若涉及三角形的面积，要根据题意灵活选 用三角形的面积公式．
训练 1．在△ABC 中，已知 a＝3 2，cos C＝13，S△ABC＝4 3，则 b＝ 2 3 .
∴S△ABC＝12BC·AD＝12acsin B＝12absin C.
D
同理S△ABC＝12absin C＝12bcsin A. ∴S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B.
探究 2 当△ABC 为钝角三角形时，证明：S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B. 证明 不妨设B为钝角，如图所示，过A作 CB边上的高线AD，则