高中数学
三角函数的诱导公式【知识梳理】
知识点一诱导公式及其记忆规律
1.诱导公式
sinα
cosα－cosα
tanα
2.诱导公式的记忆规律
①诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．
②“奇”“偶”指的是诱导公式k·π
2＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k为奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．
③“符号看象限”指的是在k·π
2＋α中，将α看成锐角时k·π
2＋α所在的象限．
知识点二诱导公式在三角形中的应用
在△ABC中，常用到以下结论：
（一） sin（A+B）=sin（π−C）=sin C
cos（A+B）=cos（π−C）=−cos C
tan（A+B）=tan（π−C）=−tan C
（二） sin（A
2
+
B
2）=sin（
π
2
−
C
2）=cos
C
2
cos（A
2+B
2
）=cos（π
2
−C
2
）=sin C
2
题型一 利用诱导公式求值与化简（给角求值） 【例1】对下列各式化简求值：
（1）sin 2120°+cos 180°+tan 45°−cos 2(−330°)+sin （−210°）
（2）cos π
7+cos 2π
7+cos 3π
7+cos 4π
7+cos 5π
7
+cos 6π7
【过关练习】 1. 若76
π
α=
，则计算21sin(2)sin()2cos ()αππαα+-⋅+--所得的结果为（ ） A. 34- B. 14- C. 0 D. 54
2.计算： （1）sin （4π−α）cos （9
2
π+α）sin （
11π
2
+α）cos （2π−α）−
tan(5π−α)
sin （3π−α）sin （π2
−α）
（2）cos π
5+cos 2π
5+cos 3π
5+cos 4π
5
- tan π
3- tan 2π3
3.若f (cos x )=cos 3x ，那么f (sin 30°)的值为（ ）. A.0 B.1 C.-1 D.√3
2
题型二 利用互补、互余关系求求值（给角求值） 【例1】
（1）已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－2π3＝________.
（2）已知cos (π
2+α)=√3
2，且|α|＜π2
，则tan α= .
【过关练习】
1.已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋α，则sin αcos α等于( )
A ．－2
5 B.2
5 C. 25或－25 D ．－15
2.已知π
6＜α＜2π
3
，cos (α+π
3)=m （m ≠0），求tan （2π3
−α）的值.
题型三 利用诱导公式求角（给值求角）
【例1】已知cos (π
2−α)=√2cos (3π
2+β)，√3 sin(3π
2－α)= - √2sin （π
2+β），0＜α＜π， 0＜β＜π，求α，β.
1. 若)cos()2sin(απαπ
-=+，则α的取值集合为（ ）.
A ．}4
2|{Z k k ∈+=π
παα B ．}4
2|{Z k k ∈-=π
παα C ．}|{Z k k ∈=π
αα
D ．}2
|{Z k k ∈+
=π
παα
2. 已知√3cos (−α)=−√2cos (π+β)， sin(3π－α)= √2cos （3π2
+β），0＜α＜π， 0＜β＜
π，求α，β.
题型四 利用诱导公式证明三角恒等式 【例1】求证： （1）=tanθ．
（2）sin （－α）=－cos α；
)
π5sin()πcos()
π6cos()π2sin()π2tan(θθθθθ+-----2
π
3
1. 求证：．
2.求证：cos （+α）=sin α．
题型五 诱导公式在三角形中的应用 【例1】在△ABC 中，已知sin A+B−C 2
=sin
A−B+C 2
，试判断△ABC 的形状.
【过关练习】
1.设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ）. A ．cos （A+B ）=cosC B ．sin （A+B ）=sinC C ．tan （A+B ）=tanC D ．sin
=sin
2. 在△ABC 中，若sin （2π−A ）=−√2sin （π−B ）,√3cos A=−√2cos （π−B ），求△ABC 的三个内角.
1)πtan(1
)π9tan(sin 211cos )πsin(22++-+=--⋅+θθθ
θθ2
π
32
B
A +2C
题型六诱导公式的综合应用
【例1】已知sin（π−α）- cos（π+α）= √2
3（π
2
＜α＜π），求下列各式的值.
（1）sinα - cosα；
（2）sin3（π
2−α）+cos3（π
2
+α）
【过关练习】
设f(x)=a sin（πx+α）+bcos（πx+β）+7，α，β，a，b均为实数，若f(2016)=6，求f(2017)的值.
课后作业 【补救练习】 1. sin
11π
6
的值是（ ） A.2
1 B.－2
1 C.23 D.－2
3 2.sin
34π·cos 6
25π
·tan 45π的值是
A ．－4
3
B ．4
3
C ．－4
3 D ．
4
3 3. 若76
π
α=
，则计算21sin(2)sin()2cos ()αππαα+-⋅+--所得的结果为（ ） A. 34- B. 14- C. 0 D. 54
4. 化简：
___________)cos()3sin()sin()
23cos()3cos()2sin(=---+--+-πααπαπαπ
απαπ.
【巩固练习】
1．已知3cos()sin()22()cos()tan()
f ππ+α-αα=-π-απ-α，则25()3f -π的值为（ ）
A ．12
B ．－12 C
．2 D ．
－2
2. 已知 3)tan(=+απ, 求)
2sin()cos(4)
sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值．
3. 若sin （125°－α）= 12
13 ,则sin （α＋55°）=
．
4. 求值：sin （－660°）cos420°－tan330°cot （－690°）．
5. 化简：．
【拔高练习】
1. 设,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒-的值为（ ）. A ．
2
11a
a ++ B ．－
2
11a
a ++ C ．
2
11a
a +- D ．
2
11a
a +-
2. sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=_________．
3.已知,1)sin(=+βα则=+++)32sin()2sin(βαβα .
︒
+︒︒
︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21。