《积分变换》复习卷一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.复数z=1625825-i 的辐角为（ ）B A.arctan12B.-arctan12C.π-arctan 12D. π+arctan 122.复数z=--355(cos sin )ππi 的三角表示式为（ ）C A.-+34545(cos sin )ππi B.34545(cos sin )ππ-i C. 34545(cos sin )ππ+iD.--34545(cos sin )ππi3.复数e 3+i所对应的点在（ ）A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限4.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz<π3，0<|z|<2映射成W 平面上的区域（ ）AA.0<argw<23π，0<|w|<4 B.0<argw<π3，0<|w|<4 C.0<argw<23π，0<|w|<2D.0<argw<π3，0<|w|<25.设C 为正向圆周|z+1|=2，n 为正整数，则积分dz z i n C()-+⎰1等于（ ）CA.1B.2πiC.0D.12πi6.设函数f z e d z()=⎰ξξξ0，则f(z)等于（ ）DA.ze z +e z +1B.ze z +e z -1C.-ze z +e z -1D.ze z -e z +17.幂级数z n n n -=∞∑11!的收敛区域为（ ）BA.0<|z|<+∞B.|z|<+∞C.0<|z|<1D.|z|<18.z=-1是函数cot ()πz z +14的（ ）C A.3阶极点 B.4阶极点 C.5阶极点D.6阶极点9.设Q(z)在点z=0处解析，f(z)=Q z z z ()()-1，则Res[f(z),0]等于（ ）B A.Q(0)B.-Q(0)C.'Q ()0D.-'Q ()010.映射w=z 2+2z 在下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（ ）A A.|z+1|>12B.|z+1|<12C.|z|>12D.|z|<12二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11.复数z=4+48i 的模|z|= .8 12.设z=e 2+i ，则argz= .113.方程Rez 2=1所表示的平面曲线为 .双曲线 14.设z=cosi ，则Imz= .015.积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则z zdz C+⎰12等于 .--2πi16.函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分f z z a dz n C()()-+⎰1等于 .2πi n f a n !()()17.设C 为正向圆周|z|=1，则积分dzz C ||⎰等于 .018.方程lnz=π3i 的解为 . 3),31(21πi e i 或+19.设C为正向圆周|z -i|=12，则积分e z z i dz z Cπ()-=⎰2. -+2ππ()i20.级数n nz nn n !=∞∑1的收敛半径为 . e三、计算题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21.=x 2+2xy -y 2的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)=1. 解：∂∂∂∂u x x y u yx y =+=-2222,, 由C -R 条件，有∂∂∂∂v y u x =，∂∂∂∂v x uy=-，∴ v vydy x y dy xy y x ==+=++⎰⎰∂∂ϕ()()2222. 再由∂∂ϕ∂∂v x y x x y uy=+'=-+=-222()，得'=-=-+ϕϕ(),(),x x x x C 22于是 ∴ v=2xy+y 2-x 2+C. 由v(0,0)=1, 得C=1. 故v=2xy+y 2-x 2+1.22.函数f(z)=ed z -⎰ζζ20在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域.解：因为f ˊ(z)=ez -2=()!()!(||)-=-<+∞=∞=∞∑∑z n n z z nn n n n2021， 所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得 f(z)='=-++=∞∑⎰f d n z n n n n z()()!ζζ12121（||z <+∞）.23.留数求积分I=cos x x x dx 42109+++∞⎰的值.解：在上半平面内，f(z)=e z z iz()()2219++有一阶极点z=i 和z=3i.∵I=121912192222cos ()()Re()()xx x dx e x x dx ix++=++-∞+∞-∞+∞⎰⎰=12223Re{Re [(),]Re [(),]},ππi s f z i i s f z i +Res[f(z),i]=116ei, Res[f(z),3i]=-1483e i,∴ I e e =-π483132().24.面上的区域为D ：|z+i|>2，|z -i|<2，试求下列保角映射： （1）w 1=f 1(z)把D 映射成W 1平面上的角形域D 1：π4<argw 1<34π；（2）w 2=f 2(w 1)把D 1映射成W 2平面上的第一象限D 2：0<argw 2<π2；（3）w=f 3(w 2)把D 2映射成W 平面的上半平面G ：Imw>0； （4）w=f(z)把D 映射成G. 解：（1）由||||z i z i +=-=⎧⎨⎪⎩⎪22解得交点z 1=1,z 2=-1.设w 1=z z -+11，则它把D 映射成W 1平面上的D 1：ππ4341<<arg .w （2）设w 2=ew i -π41,则它把D 1映射成W 2平面上的第一象限D 2：022<<arg .w π（3）设w=w 22，则它把D 2映射成W 平面的上半平面G ：Imw>0. （4）w=()().ez z i z z i -⋅-+=--+π4221111****************学院继续教育学院《积分变换》期终试卷（B 卷）班级 *********** 姓名 学号 得分一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1．方程Rez 2=1所表示的平面曲线为（ ）D A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线2．设z=cosi ，则（ ）A A.Imz=0 B.Rez=π C.|z|=0D.argz=π3.w=Ln(1-i)，则Imw 等于（ ）BA.-π4B.2401k k ππ-=±⋅⋅⋅,,,C.π4D.2401k k ππ+=±⋅⋅⋅,,,4.函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分f z z a dz n C()()-+⎰1等于（ ）DA.211πin f a n ()!()()++ B.2πin f a !() C.2πif a n ()()D.2πi n f a n !()()5.C 为正向圆周|z|=1，则积分dzz C ||⎰等于（ ）AA.0B.2πiC.2πD.-2π6.积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则z z dz C+⎰12等于（ ）CA.2+πiB.2-πiC.--2πiD.-+2πi7.π3是函数f(z)=sin()z z --ππ33的（ ）B A.一阶极点 B.可去奇点C.一阶零点D.本性奇点8.级数()!()!n n z n n+=∞∑120的收敛半径为（ ）D A.0 B.1 C.2D.+∞9.下列积分中，积分值不为零的是（ ）D A.()z z dz C323++⎰，其中C 为正向圆周|z -1|=2B.e dz z C⎰，其中C 为正向圆周|z|=5C.zzdz C sin ⎰，其中C 为正向圆周|z|=1 D.cos zz dz C -⎰1，其中C 为正向圆周|z|=210.下列影射中，把角形域0<argz<π4保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ）C A.w=z z 4411+- B.w=z z 4411-+ C.w=z i z i44-+D.w=z i z i44+-二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）11.z=(1+i)100，则Imz= .0 12.复数z=1625825-i 的辐角为 .-arctan 1213.复数z=--355(cos sin )ππi 的三角表示式为 .34545(cos sin )ππ+i 14.复数e 3+i 所对应的点在 .第一象限15.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz<π3，0<|z|<2映射成W 平面上的区域 .0<argw<23π，0<|w|<416.设C 为正向圆周|z+1|=2，n 为正整数，则积分dz z i n C()-+⎰1等于 .017.f(z)=z 2的可导处为 .018.为正向圆周|z|=1，则()1zz dz C+=⎰ . 4πi19.为正向圆周|ξ|=2，f(z)=sinπζζζ3-⎰z d C，其中|z|<2，则'=f ()1 . ππππ23233i i ,cos或⋅20.f(z)=1111115zz z [()]+++⋅⋅⋅++在点z=0处的留数为 .6 三、计算题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21.积分I=z zz dz C +⎰||的值，其中C 为正向圆周|z|=2.解：z z z dz zdz i i d CC +==⋅+-⎰⎰⎰||Re cos (cos sin )12222θθθθππ=4i (cos ).1240+=⎰θθππd i22.积分I=e z i z i dz zCπ()()-+⎰223的值，其中C 为正向圆周|z -1|=3.解：因在C 内f(z)=e z i z i zπ()()-+223有二阶极点z=i ，所以f z dz i ddzz i f z z i C()!lim[()()]=-→⎰212π =232323ππππi ez i ez i z iz z lim[()()]→+-+=ππ1612().-+i 23.利用留数求积分I=cos x x x dx 420109+++∞⎰的值.解：在上半平面内，f(z)=e z z iz()()2219++有一阶极点z=i 和z=3i.∵I=121912192222cos ()()Re()()xx x dx e x x dx ix++=++-∞+∞-∞+∞⎰⎰=12223Re{Re [(),]Re [(),]},ππi s f z i i s f z i + Res[f(z),i]=116ei, Res[f(z),3i]=-1483e i,∴ I ee =-π483132().24.设Z 平面上的区域为D ：|z+i|>2，|z -i|<2，试求下列保角映射： （1）w 1=f 1(z)把D 映射成W 1平面上的角形域D 1：π4<argw 1<34π；（2）w 2=f 2(w 1)把D 1映射成W 2平面上的第一象限D 2：0<argw 2<π2；（3）w=f 3(w 2)把D 2映射成W 平面的上半平面G ：Imw>0； （4）w=f(z)把D 映射成G. 解：（1）由||||z i z i +=-=⎧⎨⎪⎩⎪22解得交点z 1=1,z 2=-1.设w 1=z z -+11，则它把D 映射成W 1平面上的D 1：ππ4341<<arg .w （2）设w 2=ew i -π41,则它把D 1映射成W 2平面上的第一象限D 2：022<<arg .w π（3）设w=w 22，则它把D 2映射成W 平面的上半平面G ：Imw>0. （4）w=()().ez z i z z i -⋅-+=--+π4221111。