方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题
一、选择题
1．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2B．x1+x2＞0C．x1•x2＞0D．x1＜0，x2＜0
【答案】A
【解析】
分析：A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；
【详解】
设旅游人次的年平均增长率为 ，
那么根据题意得： ．
故选：C．
【点睛】
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
8．聪聪、明明、伶伶、俐俐四人共同探究代数式 的值的情况他们做了如下分工，聪聪负责找值为0时 的值，明明负责找值为4时 的值，伶伶负责找最小值，俐俐负责找最大值，几分钟，各自通报探究的结论，其中正确的是（）
10．徐工集团某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100元，由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元．则平均每次降低成本的百分率是（）
A．8.5％B．9％C．9.5％D．10％
【答案】D
【解析】
【分析】
设平均每次降低成本的百分率为x的话，经过第一次下降，成本变为100（1-x）元，再经过一次下降后成本变为100（1-x）（1-x）元，根据两次降低后的成本是81元列方程求解即可．
B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1+x2=a，
∵a的值不确定，
∴B结论不一定正确；
C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1•x2=﹣2，结论C错误；
D、∵x1•x2=﹣2，
∴x1＜0，x2＞0，结论D错误．
故选A．
点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
【详解】
因为方程有实数解，故b2-4ac≥0．
由题意有： 或 ,设u= ，
则有2au2-u+b=0或2au2+u+b=0，（a≠0），
因为以上关于u的两个一元二次方程有实数解，
所以两个方程的判别式都大于或等于0，即得到1-8ab≥0，
所以ab≤ ．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的求根公式：x= （b2-4ac≥0）.
【详解】
设平均每次降价的百分比为x，
则根据题意可得出方程为：8（1﹣x）2＝5.12；
故选C．
【点睛】
本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“-”）．
16．方程x2﹣9x+14＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
【分析】
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=225，把相应数值代入即可求解．
【详解】
第一次降价后的价格为225×（1﹣x），第二次降价后的价格为225×（1﹣x）×（1﹣x），则225（1﹣x）2=196．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
2．从 ， ， ，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为 ．若数 使关于 的一元二次方程 有实数解．且关于 的分式方程 有整数解，则符合条件的 的值的和是（）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由一元二次方程 有实数解，确定a的取值范围，由分式方程 有整数解，确定a的值即可判断．
故选B．
13．两个不相等的实数m，n满足 ，则mn的值为（）
A．6B．-6C．5D．-5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意得到m，n可看作方程x2-6x-5=0的两根，然后根据根与系数的关系求解即可.
【详解】
∵两个不相等的实数m，n满足 ，
∴m，n可看作方程x2-6x-5=0的两根，
∴mn=-5
故选：D.
3．已知 ， 是方程 的两根，且 ，则 的值是（ ）
A． B．5C． D．9
【答案】A
【解析】
【分析】
由一元二次方程的解及根与系数的关系可得出 ，结合 ，可求出 的值，此题得解．
【详解】
解：∵ ， 是方程 的两根，
．
，
即 ，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，正确求出 的值.
又∵（x﹣ ）2≥0，
∴2（x﹣ ）2+ ≥ ，
∴2x2﹣3x+5有最小值，故伶伶发现2x2﹣3x+5有最小值正确，符合题意，
（4）由（3）可知2x2﹣3x+5没有最大值，故俐俐发现2x2﹣3x+5有最大值错误，不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查解一元二次方程和配方法的应用，掌握一元二次方程求根公式和配方法是解决本题的关键．
12．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）
A．438（1+x）2=389B．389（1+x）2=438
C．389（1+2x）=438D．438（1+2x）=389
C选项，2x2+10x+9=0将x2系数化为1得， ，利用配方法得 ，整理得， ，故该选项错误；
D选项，易观察到两多项式中存在相同项及互为相反数项，满足平方差公式，其中相同项为-x，y与-y互为相反数，即有（-x-y）（-x+y）=x2-y2，正确
故选：D．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程中配方法的运算及整式除法，平方差公式，掌握整式混合运算的法则及配方法的步骤是解题的关键．此题为基础题型，比较简单．
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：因为每半年发放的资助金额的平均增长率为x，
去年上半年发放给每个经济困难学生389元，去年下半年发放给每个经济困难学生389 (1＋x)元，
则今年上半年发放给每个经济困难学生389 (1＋x) (1＋x)＝389(1＋x)2元．
据此，由题设今年上半年发放了438元，列出方程：389（1+x）2=438．
【详解】
方程 有实数解，
∴△=4(a−4)2−4a2⩾0，
解得a⩽2
∴满足条件的a的值为−4，−2，−1，0，1，2
方程
解得y= +2
∵y有整数解
∴a=−4，0，2，4，6
综上所述，满足条件的a的值为−4，0，2，
符合条件的a的值的和是−2
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．
7．我市郊区大力发展全域旅游产业，打造了大来岗风景区、敖其湾赫哲族风景区等精品旅游项目，郊区全年旅游人数逐年增加，据统计， 年为 万人次， 年为 万人次．设旅游人次的年平均增长率为 ，则可列方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
关于增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），旅游人次的年平均增长率为 ，然后根据已知可以得出方程．
b2-4有两个不相等的实数根，即 ，故A选项正确，不符合题意；
，故B选项正确，不符合题意；
，故C选项正确，不符合题意；
，故D选项错误，符合题意，
故选D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
4．方程 的两根之和为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
据一元二次方程的根与系数的关系即可判断．
【详解】
根据一元二次方程的根与系数的关系可得：两个根的和是： ．
故选：A．
【点睛】
此题考查根与系数的关系，解题关键在于掌握若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=- ．
．
5．关于 的方程 有实数根，则 满足（）
A． B． 且 C． 且 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a的范围．
【详解】
当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=- ；
当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，
所以a的取值范围为a≥1．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
9．下列各式的变形中，正确的是（）
A． 配方变为 B．
C． 配方变为 D．
【答案】D
【解析】
【分析】