雅加达
上海
东京
层次结构图
准则层的两两比较矩阵 SO2 SPM
NOX 1 1/3
1 1/4
CO 4 2
4 1
SO2 SPM
NOX CO
1 1/3
1 1/4
3 1
3 1/2
λmax=4.0206, CI=0.0069, RI=0.9, CR=0.0077<0.1 ω1=(0.3849,0.1428,0.3849,0.0874)
6 层次分析法
层次分析法的基本原理 2. 层次分析法的一般步骤 3. 城市空气质量分析 4. 层次分析法在求解某些优化问题中的应用
1.
层次分析法是由美国数学家T.L. Saaty于20世纪70年代
初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决 策方法。
层次分析法的基本思路是：在决策过程中，首先把复
杂问题分解成因素，然后把这些因素按支配关系分组 形成有序的递阶层次结构，并衡量各方面的影响，最 后综合人的判断，以决定决策诸因素相对重要性的先 后优劣次序，这就是。
6.1 层次分析法的基本原理
层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结 构原理、测试原理和排序原理。 (1) 递阶层次结构原理 一个复杂的结构问题可分解为它的组成部分或因 素，即目标、准则、方案等。按照属性的不同把这 些元素分组形成互不相交的层次，上一层次的元素 对相邻的下一层次的全部或部分元素起支配作用， 形成按层次自上而下的逐层支配关系。
目标层
选拔干部
准则层
品德
才能
资历
年龄
群众关系
方案层
侯选人1
侯选人2
侯选人3
侯选人4
侯选人5
侯选人6
目标层
选拔队员
数学 接受 知识 能力
Y11 数学 定理 Y12 数学 推理 Y21 接受 新知 识 Y22 接受 新方 法
准则层
建模能 力
Y31 创新 能力 Y32 想像 能力 Y33 洞察 能力
团队 协作
若判断矩阵A为一致矩阵，则各元素的权重可由A的最大 特征值(主特征值)λmax所对应的特征向量 ω=(ω1, ω2,…, ωn) (主特征向量,归一化后的) 来确定。 定理1 对于正矩阵A, 1) A的最大特征根是正单根λ; 2) λ所对应的特征向量ω为正的. 定理2 n阶正互反矩阵A的最大特征根λ≥n; 当λ=n时A是一 致阵.
方案层两两比较矩阵 SPM
曼谷 曼谷 北京 加尔各答 雅加达 上海 东京 1 1 1 1 1 1/5 北京 1 1 1 1 1 1/5 加尔各答 1 1 1 1 1 1/5 雅加达 1 1 1 1 1 1/5 上海 1 1 1 1 1 1/5 东京 5 5 5 5 5 1
λmax=6, CI=0, RI=1.24, CR=0<0.1 ω22=(0.1923,0.923, 0.1923,0.923, 0.1923,0.0385)
方案层两两比较矩阵 NOx
曼谷 曼谷 北京 加尔各答 雅加达 上海 东京 1 1/3 1/3 1 1/3 1/3 北京 3 1 1 3 1 1 加尔各答 3 1 1 3 1 1 雅加达 1 1/3 1/3 1 1 1/3 上海 3 1 1 3 1 1 东京 3 1 5 3 1 1
层次分析法的一般步骤
分析系统中各因素间的关系,建立层次结构模型。 2. 由上而下, 对每一层构造两两比较矩阵, 并做一致性 检验。 3. 计算各层中各元素的权重 4. 计算最后一层对于目标的组合权重。
1.
6.3 城市空气质量分析
城市 曼谷
北京 加尔各答 德里 卡拉奇 雅加达 马尼拉 孟买 汉城 上海 东京
二氧化硫SO2 !
!!! ! ! ! ! ! ! !!! !! !
悬浮颗粒物SPM !!!
!!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !
氮氧化物NOX !!
! ! ! !! ! !! ! ! ! !
一氧化碳CO !
! ! ! !! ! ! ! ! ! !
模型假设
在上面的表格中, 我们可以看到有许多城市的各项数据 都相同, 虽然!, !!, !!!只是实际数据与WHO标准的比较所 得到的, 而这些原始数据并不一定完全相同, 但是为了简 化问题, 我们在这里做如下假设. a. 表格中的数据具有权威, 值得相信, 具有使用价值. b. 不同城市的!, !!, !!!所代表的污染程度相同, 不再加以 区分. c. 由表格中的数据可得到相对污染程度!/!=1, !!/!!=1, !!!/!!!=1, !!!/!=5, !!!/!!=4, !!/!=3; 这样, 问题就由11个城市的排名问题简化成6个城市的排 名问题.
6个城市的空气质量
城市 曼谷
北京 加尔各答 雅加达 上海 东京
二氧化硫SO2 !
!!! ! ! !! !
悬浮颗粒物SPM !!!
!!! !!! !!! !!! !
氮氧化物NOX !!
! ! ! ! !
一氧化碳CO !
! ! ! ! !
建模
目标层
城市排名
准则层
SO2
SPM
NOx
CO
方案层
曼谷
北京
加尔各答
计算机 应用
Y51 数学 软件 Y52 算法 设计 Y53 排序 软件
写作
子准则层
Y41 分工
Y42 合作
Y61 语言 准确
Y62 语言 精练
方案层
队员1
队员2
队员3
队员4
队员5
பைடு நூலகம்
…
队员n
(2) 测度原理 (3) 排序原理 层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其 重要性，计算元素相对重要性的测度问题。设由元素两 两比较得到的更要性测度表示为判断矩阵： A (aij )nn 显然，判断矩阵具有性质 1 aij 0, aij a ji 称满足此性质的矩阵为正互反阵。若一个n阶正互反阵A 满足： aij a jk aik , i, j, k 1,2,...,n. 则称A为一致性矩阵。
方案层两两比较矩阵 SO2
曼谷 曼谷 北京 加尔各答 雅加达 上海 东京 1 5 1 1 3 1 北京 1/5 1 1/5 1/5 ¼ 1/5 加尔各答 1 5 1 1 3 1 雅加达 1 5 1 1 3 1 上海 1/3 4 1/3 1/3 1 1/3 东京 1 5 1 1 3 1
λmax=6.0881, CI=0.0176, RI=1.24, CR=0.0142<0.1 ω21=(0.0789,0.4748,0.0789,0.0789,0.2049,0.0789)