专题五 解析几何
真题研析 命题分析 知识方法
1．两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 存在，则 l1∥l2 时，k1＝k2，l1⊥l2 时，k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字 母系数，则要考虑斜率是否存在．
2．两个距离公式 (1)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d＝ |CA1－2＋CB2|2. (2) 点 (x0 ， y0) 到 直 线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的 距 离 d＝ |Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|.
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0 解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝4， 点 M 到直线 l 的距离为 d＝|2×12＋2＋11＋2 2|＝ 5>2，所 以直线 l 与圆相离．
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依圆的知识可知，点 A，P，B，M 四点共圆，且 AB
答案：A
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5．(2019·全国卷Ⅲ)设 F1，F2 为椭圆 C：3x62＋2y02 ＝1 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限．若△MF1F2 为等腰三角形，则 M 的坐标为________．
解析：已知椭圆 C：3x62＋2y02 ＝1 可知，a＝6，c＝4， 由 M 为 C 上一点且在第一象限，
1(a>b>0)的两个焦点，P 为 C 上的一点，O 为坐标原点．
(1)若△POF2 为等边三角形，求 C 的离心率； (2)如果存在点 P，使得 PF1⊥PF2，且△F1PF2 的面 积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围．
解：(1)连接 PF1，由△POF2 为等边三角形可知在△F1PF2 中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝ 3c，于是 2a＝|PF1|＋ |PF2|＝( 3＋1)c，故 C 的离心率为 e＝ac＝ 3－1.
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与椭圆方程可得x92＋y2＝1，
整理得
y＝y90（x＋3），
(y20＋9)x2＋6y20x＋9y20－81＝0，解得 x＝－3 或 x＝ －y320y＋20＋927.
将 x＝－y320y＋02＋927代入直线 y＝y90(x＋3)可得：y＝y206＋y09 所以点 C 的坐标为－y320y＋02＋927，y206＋y09.
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(2)由题意可知，满足条件的点 P(x，y)存在．当且仅当 12|y|·2c＝16，x＋y c·x－y c＝－1，xa22＋by22＝1，
即 c|y|＝16，① x2＋y2＝c2，② xa22＋by22＝1.③ 由②③及 a2＝b2＋c2 得 y2＝bc24. 又由①知 y2＝1c622，故 b＝4.
答案：(3， 15)
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类型三 直线与圆锥曲线的位置关系 1．(2020·全国卷Ⅰ)已知 A、B 分别为椭圆 E：xa22＋y2＝ 1(a>1)的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，A→G·G→B＝8，P 为直 线 x＝6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另 一交点为 D. (1)求 E 的方程； (2)证明：直线 CD 过定点． (1)解：依据题意作出如下图象：
解析：圆心(0，－1)到直线
y＝x＋1
的距离为
d＝
2＝ 2
2，
AB＝2 r2－d2＝2 22－（ 2）2＝2 2.
答案：2 2
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类型二 圆锥曲线的方程与几何性质 1．(多选题)[2020·新高考卷Ⅰ(山东卷)]已知曲线 C： mx2＋ny2＝1.( ) A．若 m>n>0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B．若 m＝n>0，则 C 是圆，其半径为 n C．若 mn<0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 y＝± －mn x D．若 m＝0，n>0，则 C 是两条直线
b>0)的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2＋
y2＝a2 交于 P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则 C 的离心率为( )
A. 2
B. 3
C．2
D. 5
解析：因为|PQ|＝|OF|＝c，所以∠POQ＝90°，又|OP|＝ |OQ|＝a，所以 a2＋a2＝c2，
解得ac＝ 2，即 e＝ 2.
)
A．2
B．3
C．4
D．8
解析：抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点是p2，0，椭圆3xp2＋ yp2＝1 的焦点是(± 2p，0)，所以p2＝ 2p，所以 p＝8.
答案：D
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4．(2019·全国卷Ⅱ)设 F 为双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，
所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为(a，a)，则圆的半径为 a，圆的标准 方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.
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由题意可得(2－a)2＋(1－a)2＝a2，可得 a2－6a＋5＝
0，解得 a＝1 或 a＝5，
所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，圆心到直线 2x－
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4．直线与椭圆、抛物线的位置关系是解析几何考查 的重点，一般以压轴题的形式出现．考查的内容有最值 和范围问题、定点与定值问题，证明问题、探索性问题 等．
5．高考题对解析几何的要求很高，既重思维，又重 计算，所以训练严谨的思维品质，提高运算技能是解决 解析几何压轴题的关键．
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同理可得点 D 的坐标为3yy0220＋－13，y－20＋2y10 所以直线 CD 的方程为：y－y－20＋2y10＝ －yy320206y＋＋02y＋099－27－－y203＋2yy20y021＋0－ 13x－3yy0202＋－13， 整理可得 y＋y202＋y01＝86y（0（9y－02＋y403））x－3yy0202＋－13＝
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所以(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，即 a2－5a2＋4＝ 0，解得 a＝1.
答案：A
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3．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点是椭
圆3xp2＋yp2＝1 的一个焦点，则 p＝(
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3．圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心
为(a，b)，半径为 r.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－
4F＞0)，圆心在高考数学试题中，解析几何内容在整个试卷中 的平均峰值为 22 分，一般是两个小题，一个解答题．
2．高考题对解析几何的考查几乎覆盖了该部分的所 有知识，如直线、圆、圆锥曲线等的方程和性质，直线和 圆锥曲线的位置关系是必考内容．
3．对直线方程、直线和圆的位置关系、点到直线的 距离、圆锥曲线的定义等知识的考查，其难度多为容易题 和中档题，有时也作为小题的压轴题，以选择、填空的形 式出现．
故等腰三角形△MF1F2 中 MF1＝F1F2＝8，MF2＝2a －MF1＝4，
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sin ∠ F1F2M ＝
82－22 8
＝
15 4
，
yM
＝
MF2sin
∠
F1F2M＝ 15，代入 C：3x62＋2y02 ＝1 可得 xM＝3.故 M 的坐
标为(3， 15)．
⊥MP，所以
|PM|·|AB|
＝
2S
△
PAM
＝
2
×
1 2
×
|PA|
×
|AM|
＝
2|PA|
，
而
|PA|＝ |MP|2－4，
当直线 MP⊥l 时，|MP|min＝ 5，|PA|min＝1，此时 |PM|·|AB|最小．
所以 MP∶y－1＝12(x－1)即 y＝12x＋12，
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由②③得 x2＝ac22(c2－b2)， 所以 c2≥b2，从而 a2＝b2＋c2≥2b2＝32， 故 a≥4 2. 当 b＝4，a≥4 2时，存在满足条件的点 P. 所以 b＝4，a 的取值范围为[4 2，＋∞)．
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由2y＝x＋12xy＋＋122，＝0，解得xy＝＝0－. 1， 所以以 MP 为直径的圆的方程为(x－1)(x＋1)＋y(y－ 1)＝0，即 x2＋y2－y－1＝0， 两圆的方程相减可得：2x＋y＋1＝0，即为直线 AB 的方程． 答案：D
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3．(2019·全国卷Ⅰ)直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＋2y－3＝0 交于 A，B 两点，则|AB|＝________．
且 F1P⊥F2P.若△PF1F2 的面积为 4，则 a＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
解析：因为ac＝ 5，所以 c＝ 5a，根据双曲线的定义
可得||PF1|－|PF2||＝2a，
S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝4，即|PF1|·|PF2|＝8，因为
F1P⊥F2P，|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，