当ut非平稳且存在ARMA成分时，则可以把ut描述为 Φ p ( L)∆d ut = Θ q ( L)vt p, q 分别表示非季节自回归、移动平均算子的最大阶数，d 表示ut的一阶（非季节）差分次数。于是得到季节时间序 列模型的一般表达式。
Φ p ( L) AP ( Ls )(∆d ∆D yt ) = Θ q ( L) BQ ( Ls )vt s
900 800 700 600 500 400 300 200 100 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
月度商品零售额时序图 月度商品零售额自相关偏 自相关图
设季节性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中） 的变化周期为s，即时间间隔为s 的观测值有相似之处。首 先用季节差分的方法消除周期性变化。季节差分算子定义 为， ∆ = 1 − Ls
通过LnGDPt的相关图和偏相关图可以看到LnGDPt是一个非 平稳序列（相关图衰减得很慢）。
对LnGDPt进行一阶差分，得 DLnGDPt。DLnGDPt的平稳性 得到很大改进，但其季节因素影响还很大。从 DLnGDPt的相 关图和偏相关图也可以明显地看到这个特征。若对LnGDPt直 接进行一次季节差分（四阶差分），得D4LnGDPt。其波动性 也很大。D2LnGDPt显然是过度差分序列。
从上式可以看出SARIMA模型可以展开为ARIMA(p+PS+DS, d, q+QS) 模型。
对乘积季节模型的季节阶数，即周期长度s 的识别可 以通过对实际问题的分析、时间序列图以及时间序列的相 关图和偏相关图分析得到。 以相关图和偏相关图为例，如果相关图和偏相关图不 是呈线性衰减趋势，而是在变化周期的整倍数时点上出现 绝对值相当大的峰值并呈振荡式变化，就可以认为该时间 序列可以用SARIMA 模型描述。
.20 DLNGDP .15 .10 .05 .00 -.05 -.10 -.15 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
.30 D4LNGDP .25 .20 .15 .10 .05 .00 -.05 -.10 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
∆∆12 yt = (1 + θ1 L)(1 + β1 L12 )vt
上式的EViews估计命令是: DLOG(Y,1,12) MA(1) SMA(12)
∆∆12 yt = (1 + θ1 L)(1 + β1 L )vt
12
= vt + θ1 Lvt + β1 L12 vt + θ1β1 L13vt = vt + θ1vt −1 + β1vt −12 + θ1β1vt −13
用于预测的模型形式是： yt = yt −1 + yt −12 − yt −13 + vt + θ1vt −1 + β1vt −12 + θ1β1vt −13 由季节时间序列模型的一般表达式。
Φ p ( L) AP ( Ls )(∆d ∆D yt ) = Θ q ( L) BQ ( Ls )vt s 可写成： Φ p ( L) AP ( Ls )∆D (∆d yt ) = Θ q ( L) BQ ( Ls )vt s
6.8 LNY 6.4 6.0 5.6 5.2 4.8 4.4 1978 1980 1982 1984 1986 1988
.3 DLNY
.5 ddlny .4
.2
.3
.1
.2 .1
.0
.0
-.1
-.1 -.2 -.3
-.2
-.3 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
(1 − φ1 L)(1 − α1 L12 )∆∆12 yt = (1 + θ1 L)(1 + β1 L12 )vt
设log(Yt)=yt，上式的EViews估计命令是: DLOG(Y,1,12) AR(1) SAR(12) MA(1) SMA(12)
(0,1,1)×(0,1,1)12阶月度SARIMA模型表达为
89
建模1： 建模 ：用1978:1~1989:11 期间数据，估计yt的 (1, 1, 1) × (1, 1, 0)12阶季节时间序列模型，得结果如下：
(1 + 0.5924 L)(1 + 0.4093L12 ) ∆∆12 Lnyt = (1 + 0.4734 L)vt
注意： （1）仔细对照输出结果，不要把自回归系数估计值的 符号写错。 （2）表达式中，季节和非季节因子（特征多项式）之 间是相乘关系。 （3）在EViews 估计命令中把变量写作DLOG(Y,1,12)的 好处是可以直接对yt和DD12Lnyt预测。 （4）以上EViews 估计命令为例，如果命令中没有AR(1) 项，那么SAR(12) 项的输出结果将变为AR(12)，为什么？ 为什么？ 为什么
R2=0.57 DW=2
F=16.2 DW(36)=19.0<43.8
注意： 注意： （1）不要把自回归系数估计值的符号写错。不要把均值（0.0023）项表达错。EViews仍然是对(D4DLnGDPt+0.0023)建 立(2, 1, 2) × (1, 1, 1)4阶季节时间序列模型，而不是对 D4DLnGDPt建立季节时间序列模型。 （2）季节和非季节因子之间是相乘关系。 （3）在EViews 估计命令中把变量写作DLOG(GDP,1,4)，好 处是预测时可直接预测GDPt，也可以预测D4DLnGDPt。
25.0
24.5
24.0 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
1980:1~2002:4年香港季度GDPt序列（单位：港元）。 1980~1997年GDPt随时间呈指数增长。1997年由于遭受东南 亚金融危机的影响，经济发展处于停滞状态，1998~2002年底 GDPt总量几乎没有增长。另一个特征是GDPt 随时间呈递增 型异方差。所以，用对数的季度GDPt数据（LnGDPt）建立季 节时间序列模型。
D4 D ln GDPt = −0.0026 + ut (-2.4) (1 − 1.22 L + 0.69 L2 )(1 − 0.36 L4 )ut = (1 − 1.16 L + 0.97 L2 )(1 − 0.95 L4 )vt (13.2) (-7.9) (3.0) (-50.1) (67.7) (-36.7)
s
若季= (1 − Ls ) yt = yt − yt − s
对于非平稳季节性时间序列，有时需要进行D次季节 差分之后才能转换为平稳的序列。在此基础上可以建立关 于周期为s的P阶自回归Q阶移动平均季节时间序列模型
AP ( Ls )∆D yt = BQ ( Ls )ut s
其中下标P, Q, p, q分别表示季节与非季节自回归、移动平 均算子的最大滞后阶数，d，D分别表示非季节和季节性差 分次数。上式称作(p,d,q)×(P,D,Q)s阶季节时间序列模型或 乘积季节模型。
当P=D=Q=0时，SARIMA模型退化为ARIMA模型；从 这个意义上说，ARIMA模型是SARIMA模型的特例。当 P=D=Q=p=q=d=0时，SARIMA模型退化为白噪声模型。 (1,1,1)×(1,1,1)12阶月度SARIMA模型表达为
建立SARIMA 模型：
（1）首先要确定d, D。通过差分和季节差分把原序列变 换为一个平稳的序列。 （2）然后用xt建立模型。 注意： 注意： （1）用对数的季节时间序列数据建模时通常D不会大于 1，P 和Q不会大于3。 （2）乘积季节模型参数的估计、检验与前面介绍的估 计、检验方法相同。利用乘积季节模型预测也与上面介 绍的预测方法类似。
-.4 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
.5 sdlny .4
.3
.2
.1
.0
-.1 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
.3 .2 .1 .0 -.1 -.2 -.3 78
DSDLNY
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)
1.5 AR roots MA roots 1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5 -1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
建模2：进一步分析DD12Lnyt的相关图和偏相关图，也可 以建立成一个纯季节移动平均模型。用1978:1~1989:12 期间数据得(0, 1, 1) × (0, 1, 1)12季节乘积模型EViews 估 计结果如下，
在DLnGDPt的基础上进行一阶季节差分，或在D4LnGDPt基础 上进行一阶非季节差分，得 D4DLnGDPt。D4DLnGDPt 中已 经基本消除了季节变化因素。在D4DLnGDPt的基础上建立时 间序列模型。
.15 D4DLNGDP .10
.05
.00
-.05
-.10
-.15 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
回归与ARMA 组合模型 第二节 回归与
如果把回归模型和时间序列模型这两种分析方法结 合在一起，有时会得到比其中任何一种方法都好的预测 结果。
例如有如下回归模型：yt = β 0 + β1 xt + ut ˆ ˆ ˆ 上述模型的估计式是：yt = β 0 + β1 xt + ut
ˆ 当 ut存在自相关时，时间序列分析的一个有效应用是对残 ˆ ut 差序列 建立ARMA 模型。然后将上式中的残差 项用ARMA 模型替换。在利用上述模型预测yt时，可以利 ˆ ut 用ARMA 模型先预测出 的值。有时，这会使yt的预测值更 准确。 这种回归与时间序列相结合的模型形式是 ˆ ˆ y = β + β x + Φ −1 ( L)Θ( L)v