n的奇偶性 n为奇数 n为偶数
a的n次方根的表示符号
n
a
n
±a
a的取值范围 a∈R
[0，＋∞)
3.根式 n
式子 a 叫做根式，这里n叫做 根指数 ，a叫做被开方数.
知识点二 根式的性质
n
1. 0＝ 0 (n∈N*，且 n>1).
n
2.( a)n＝ a (a≥0，n∈N*，且 n>1).
n
3. an＝a(n 为大于 1 的奇数).
② a a a；
111
Hale Waihona Puke 7解 原式＝a 2 a 4 a8 a 8 ;
3
③( a)2· ab3.
1
2
1
3
73
解 原式＝ a3 a 2 b2 a 6b2 .
反思 感悟
根式与分数指数幂的互化
(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.
(2)在具体计算时，如果底数相同，通常会把根式转化成分数指数幂的形
4
解 3－π4＝|3－π|＝π－3.
(2) a－b2(a>b)；
解 ∵a>b，∴ a－b2＝|a－b|＝a－b.
3
(3)( a－1)2＋ 1－a2＋ 1－a3.
解 由题意知a－1≥0，即a≥1. 原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
反思
感悟 (1)n 为奇数时n an＝n an＝a，a 为任意实数.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
n
1.当 n∈N*时，( －3)n 都有意义.( × )
6
3
2. 24 22 . ( × )
1
3.a2·a 2 ＝a.( × )
m
4.分数指数幂 a n 可以理解为mn 个 a 相乘.( × )
2 题型探究
PART TWO
n
4.
an＝|a|＝
a ，a≥0， -a，a<0
(n 为大于 1 的偶数).
知识点三 分数指数幂的意义
分 正分数指数幂 数 指 负分数指数幂 数 幂
0的分数指数幂
mn
规定：a n ＝ am (a>0，m，n∈N*，且n>1)
m
规定： a n
1
m
an
1
n
＝ am (a>0，m，n∈N*，且n>1)
A.①② C.①②③④
√B.①③
D.①②④
12345
3
6
3.化简 －a· a的结果为
√A.－ a
B.－ －a
C. －a
解析 显然a≥0.
A.2 2
√7 B. 8
7
C.－ 8
7
解析 因为 7 为奇数，8 的 7 次方根只有一个 8.
7
D.± 8
4
(2)若
2x＋5有意义，则
x
的取值范围是__－__52_，__＋__∞____；
5
若 2x＋5有意义，则 x 的取值范围是____R____.
二、利用根式的性质化简或求值
例2 化简：
4
(1) 3－π4；
(2)n 为偶数时，a≥0，n an 才有意义，且n an＝a；
n
n
而 a 为任意实数时 an均有意义，且 an＝|a|.
跟踪训练2 化简：
7
(1) －27；
7
解 －27＝－2.
4
(2) 3a－34(a≤1)；
4
解 ∵a≤1，∴ 3a－34＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
3
4
(3) a3＋ 1－a4.
一、n次方根的概念
例1 (1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝_7_或__－__1_1_.
解析 81的平方根为－9或9， 即a＝－9或9， －8的立方根为－2，即b＝－2， ∴a＋b＝－11或7.
4
(2)若 x－2有意义，求实数 x 的取值范围.
4
解 ∵ x－2有意义，
∴x－2≥0， ∴x≥2， 即x的取值范围是[2，＋∞).
y2＝(| y |2 )6 ＝ y 3 (y<0)；
3
x4
1
(x3 )4 ＝
4
1x3(x>0)；
1
1
x3
1 x
3
＝
3
1x(x≠0).
1
3
D. x 3＝－ x(x≠0)
(2)将下列根式化成分数指数幂的形式(其中a>0，b>0).
34
① a· a；
34
11
7
解 a· a＝a3 a 4 a12 ;
式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
跟踪训练3 把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的 形式：
3
(1) (a b) 4 (a>b)；
解
(a
3
b) 4
＝
1
；
4
a－b3
3
(2) x－15；
3
5
解 x－15＝ (x 1)3 ;
(3) 1 ； 3 a2
解
1
3
＝a
2 3
;
a2
3
(4)(a b)7 .
反思
感悟 (1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根
只有一个.
n
(2)符号：根式 a 的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定.
n
①当n为偶数，且a≥0时， a 为非负实数；
n
②当n为奇数时， a 的符号与a的符号一致.
跟踪训练1 (1)已知x7＝8，则x等于
37
解 (a b)7 ＝ a－b3.
3 随堂演练
PART THREE
1.已知 a－b2＝a－b，则 A.a>b C.a<b
√B.a≥b
D.a≤b
解析 a－b2＝|a－b|＝a－b， 所以a－b≥0，所以a≥b，故选B.
12345
4
4
5
4
2.在① －42n；② －42n＋1，③ a4，④ a5中，n∈N*，a∈R 时各式子有意义的是
0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂_无__意__义__
知识点四 有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).
解
3
4
a3＋
1－a4＝a＋|1－a|＝12， a－a≤ 1，1， a>1.
三、根式与分数指数幂的互化
例3 (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是
1
A.－ x＝x2 (x>0)
6
1
B. y2＝ y 3 (y<0)
√ 3 4 C. x 4＝
1x3(x>0)
1
解析 － x＝ x 2 (x>0)；
6
1
1
第四章 4.1 指 数
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解n次方根、n次根式的概念. 2.能正确运用根式运算性质化简、求值. 3.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 n次方根、n次根式
1.a的n次方根的定义 一般地，如果 xn＝a ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示