✓ 虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。
1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦 发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠 定了理论基础。 稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率 思想。
➢随机过程论的强大生命力来源于理论本身的内部，来源于其他数学分支
如位势论、微分方程、力学、复变函数论等与随机过程论的相互渗透和彼此促
进，而更重要的是来源于生产活动、科学研究和工程技术中的大量实际问题 所提出的要求。
➢ 目前随机过程论已得到广泛的应用，特别是对统计物理、放射性问题、原
子反应、天体物理、化学反应、生物中的群体生长、遗传、传染病问题、排队 论、信息论、可靠性、经济数学以及自动控制、无线电技术等的作用更为显著。
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事件的性质 假设A,B,C是任意事件，则他们满足：
(1)交换律 A B B A
(2)结合律 A (B C ) (A B ) C
A (B C ) (A B ) C
(3)分配律 A (B C ) (A B ) (A C )
A (B C ) (A B ) (A C )
而绝大多数随机现象，是随时间因素动态变化的，即：每个不同时刻，其随机 性规律有本质变化，由此产生随机过程的相关理论(1930年代建立起来)。
《随机过程》应用领域：信号处理、算法、生物、经济、气象、控制、…
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随机过程 -- 简介
随时间推进的随机现象的数学抽象。
例如，某地第n年的年降水量xn由于受许多随机因素的影响,它本身具有随机性, 因此{xn,n=1,2,…}便是一个随机过程。类似地，森林中某种动物的头数，液体中 受分子碰撞而作布朗运动的粒子位置，百货公司每天的顾客数，等等，都随时间变 化而形成随机过程。
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第1章 预备知识
1.1 概率空间
在自然界和人类的活动中经常遇到各种各样的现 象，大体上分为两类：必然现象和随机现象 。
具有随机性的现象—随机现象
对随机现象的观察或为观察而进行的实验
（有3个特征）
—随机试验
随机试验的结果 —基本事件或样本点。记作
所有可能的结果称为样本空间。 记作
的子集A由基本事件组成 —A称为事件。
哲学观点：世界是运动和变化的
过去
确定性现象
现在
世界变化 混沌现象
将来
现象
过去
非确定性现象
现在
将来
被时间参数t唯一(精确)确定，写成数学函 数y=f(t)
可由时间参数t精确记录，但不是唯一确定的 不可精确预测
非确定性现象
随机现象
《概率论》研究对象
但概率论在研究随机现象时，没有考虑时间要素，或只考虑一个静态时间点的 随机现象，重点是随机性(随机机理)的规律认识。
(4)对偶原则 (De Morgan律)
AB AB AB AB
Ai Ai
i 1
i 1
Ai Ai
i 1
i 1
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定义1.1 设为样本空间，F是中的某些子集
组成的集合族，若满足：
（1） F ； （2）如果A F ，则 A F ；
（3）如果Ai F，i 1,2, ,则 Ai F .
✓ 60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大
的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，
✓ 中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也
做出了较好的工作。
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随机过程 -- 研究方法
➢ 研究随机过程的方法是多样的，主要可分为两大类：
严格说来，现实中大多数过程都具有程度不同的随机性。
气体分子运动时，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度,其运动的 过程是随机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质(是否连续、可微等等)？分 子从一点出发能达到某区域的概率有多大？如果有两类分子同时运动，由于扩散而 互相渗透，那么扩散是如何进行的,要经过多久其混合才会变得均匀？
i 1
那么，称F 为中的 - 代数.
( F , )为可测空间， F中的元素称为事件 .
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性质 假 设F是中的任一事件 - 代数，则
(1) F;
n
n
(2)如果Ai F,i 1,2,n,则 Ai F, Ai F;
i 1
i 1
(3)如果Ai F , i 1,2,,则 Ai F;
✓ 1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机
过程的基本理论。
✓ 1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究
马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的
随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。
✓一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时、随机微分方程等； ✓另一类是分析方法，工具是测度论、微分方程、半群理论、函数论、希尔伯特空 间等。 ✓但许多重要结果往往是由两者并用而取得的。此外，组合方法、代数方法在某些 特殊随机过程的研究中也起一定的作用。 ✓研究的主要课题有：多指标随机过程、流形上的随机过程与随机微分方程以及它 们与微分几何的关系、无穷质点马尔可夫过程、概率与位势、各种特殊过程的专 题讨论等。
又如,在一定时间内，放射性物质中有多少原子会分裂或转化？电话交换台将收 到多少次呼唤？机器会出现多少次故障？物价如何波动？
这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。
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随机过程 -- 研究历史
✓ 一些特殊的随机过程早已引起注意
例如1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之 为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义 （后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。
应用随机过程
Application of Stochastic Processes
数学与统计学院
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主要教学参考书
教材
《应用随机过程》
张波 张景肖 编 中国人民大学 出版社
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参考书 1.《应用随机过程》
林元烈 编著 清华大学出版社
2.《随机过程及应用》
陈良均 朱庆棠 编著 高等教育出版社
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课程导引 为什么会有《随机过程》这门课程？