1.弯矩方程 MFC(Rw)
E Iw M (x)F c(r w )
即wFcr wFcr
EI EI
令k 2 Fcr 则 wk2wk2
w
F cr
EI
3.微分方程的解
特征方程 1,2 ki
x
齐次方程的通解
y
wM w *Asikn xBco ksx
Fcr 非齐次方程的特解 w
微分方程的解 w A sk i n B x ck o x s
通解： w A sikn x B ck ox s
3.边界条件
x0时：w0B0
xl时：w0 Asinkl0
sinkl0 k l n( n 0 ,1 ,2 , )
k n Fcr n
l EI l
Fcr
n2 2EI
l2
nmin 1
Fcr
2EI l2
二.一端固定一端自由细长压杆临界压力公式
Fcr
2
nmin 1 k
Fcr
2EI
(2l)2
2l
Fcr EI 2l
三.一端固定一端铰支细长压杆临界压力公式
F cr
F y Fcr
1.弯矩方程 MFCw RFy(lx)
E Iw M (x ) F cw r F y (l x )
即wFcrwFy (lx)
EI EI
w
w L-x令3k.2微分FEc方Ir 则 程w的解k2wFFcyrk2(lx)
故立柱属于大柔度杆
cr
2E171MPa 2
w2PsAin4dP247MPa
nst
cr w
3.6[nst]
故结构安全。
①l N1
N2
l
l②
lP
l
E = 120 GPa l = 1000
[ ] = 70 MPa
d = 30 [nst] = 1.5
p = 75
例 图示结构中横梁是 刚性的。两杆均为圆截 面杆，求许用荷载 P。
Pmax ---压杆所受最大工作载荷
Pc r ---压杆的临界压力
稳[定n s性t ] -条--压件杆也的可规以定表稳示定成安全nst 系 PP数mcarx [nst] n s t ---为压杆实际的工作稳定安全系数。
二.折减系数
[]st
cr [] nst[]
弯矩的符号由 坐标和应力的 符号共同决定：
M Iz
y
Fcr
2.杆曲线的微分方程
M(x)Fcrw
E Iw M (x)F cw r 即w
令k 2 Fcr 则wk2w0
Fcr EI
w
0
EI
3.微分方程的解
特征方程 2k2 0
有两个共轭复根 k i
w C 1 e 1 x C 2 e 2 x C 1 e ix C 2 e ix
6P 5
1 号杆属拉杆，只考虑强度
FN1[]A
[P 1]5 3[]1 4d27.7 0kN
①l N1
N2
l
l②
lP
l
E = 120 GPa l = 1000
[ ] = 70 MPa
d = 30 [nst] = 1.5
p = 75
例 图示结构中横梁是 刚性的。两杆均为圆截 面杆，求许用荷载 P。
问题属于拉压超静定
bh 2
bh
14 .78 M P []a
先计算立柱柔度
l2
i
110p
E = 210 GPa = 30° b = 60 h = 80
l1 = 1250
l2 = 550 d = 20 P = 15kN
p = 100
[nst] = 2 [ ] = 200 MPa
例 校核如图的矩形截面横梁和圆
形截面立柱的安全性。
FN1
3 5
P
FN2
6 5
P
[P1]7.0 7kN
2 号杆属压杆，先计算柔度
il4 dl80 p
2 号杆属大柔度杆，只考虑稳定
Fcr(2lE )2 I63El424d4.71kN
[P2]65F n[cstr]26.1 kN 故应取 [P]26.1 kN
例 求图示结构的临界荷载。要提高构件抗失稳的能力，中间 铰应往哪个方向移动？移动到何处可使结构抗失稳能力最大？
失稳的特点
◆ 不是所有的构件都存在失稳问题 ◆ 有时杆件失稳的应力远小于屈服极限或强度极限 ◆ 突发性
2005 年 9 月 5 日晚 10 点 10 分，北京西单“西西 工程 4 号地”综合楼工地的模板支撑体系失稳， 导致 脚手架坍塌 ，47 名工人坠落，造成 6 人死亡、28 人 受伤的严重后果 。
p
3.欧拉公式的应用范
2E I Pcr ( l ) 2
cr
Pc r A
2EI (l)2 A
2 E (i 2 A) (l )2 A
2E (l / i)2
令 l
i
则
cr
2E 2
压杆的长细比 压杆的柔度
2. 压杆的临界应力
cr
2E
2
p
计算压杆的临界 应力的欧拉公式
或写成 E p
记p
E
p
称为临界柔度
欧拉公式的适用范围
p
满足该条件的杆称为细长杆（或大柔度杆）
p 称为小柔度杆，欧拉公式不适用
二.临界应力总图
1.欧拉临界应力曲线
在cr
~
坐标系中做出曲线 cr
2E 2
cr p曲线没有实际意义 c r
结构钢的临界柔度值
s
p
E 100
p
p
研究表明结构钢 30
时压杆主要是强度不足 O s 造成破坏，这时的柔度
Pc r
2EI (l )2
称 为 长 度 系 数
l称 为 相 当 长 度 。
几种典型约束下的细长压杆临界压力 公式如表所示。
不同约束压杆的临界压力欧拉公式（表）
[例10-1]五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成 平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹性 模量为E。
求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下杆系所 能承受的最大载荷。
[ ] = 70 MPa
d = 30 [nst] = 1.5
p = 75
例 图示结构中横梁是 刚性的。两杆均为圆截 面杆，求许用荷载 P。
问题属于拉压超静定
平衡方程
物理方程 协调方程
N 1 l N 22 l P 3 l
N 12N 23P
1FEN1lA2
FN2l EA
21 2
FN1N1
3P 5
FN2N2
• 如果:l~a~b 材料的潜力得以充分发挥,材 料以强度失效的形式丧失承载能力.
• 拉伸没有失稳的现象; • 压缩变形转换成稳定问题; • Pcr由压杆的弯曲形式确定! • 求平衡状态的分界点是目的!
§10-2细长压杆临界 压力的欧拉公式
一.两端铰支细长压杆 的欧拉公式
1.压杆截面上的弯矩
M(x)Fcrw
变形与载荷有关，可由借助B、A、 三个数描述
0
k
sin kl
1 0 cos kl
l
Fcr 1
Fcr 0
A B
sin kl cos kl
l
F cr 1 0
F cr 0
1 (klcokslsink)l0
tak nlklkl4.49
Fcr
4.临界压力 k
0.7l
二.失稳的定义
1.稳定的分类
无穷多个 平衡点— 随遇平衡
一个平衡 点—稳定
平衡
没有平衡 点—不稳 定平衡
2.失稳的定义
压杆从直轴线状态下的稳定平衡转化为微曲状态 下的不稳定平衡称为失稳。
临界压力--使压杆失稳的压力称为临界压力。
压杆的失稳
为什么会产生失稳现象?
• L>>a~b 材料有承载能力,但结构的平衡 位置发生改变,导致结构的失效!
L M 齐次方程的通解
F cr
w *Asikn xBco ksx
x
y
非齐次方程的特解 w Fy (l x)
微w分A 方s程ik的n 解xBcoks xFFcyr (lx) Fcr
3.边界条件：
xxx 0 0 l时 时 时w ： w w ： ： 000kA As A0k BiB n Fl B lFc1rcc FrFy yk o 00 l0 s
EI 2L/ 3
F L/ 2
FPFF
EI
2Lx/ 3
L/ 2
L
FAB(0.7E 2L I2/3)20E .2IL 2 22
FBC(2 ELI/22)2 EL2I2
要提高构件抗失稳的能力， 中间铰应往右方向移动。
结构的两部份同时失稳 时，抗失稳能力最大。
EI2
(0.7x)2
2(E LIx2)2
x L 0.74L 1.35
问题属于拉压超静定
平衡方程
物理方程 协调方程
N 1 l N 22 l P 3 l
N 12N 23P
1FEN1lA2
FN2l EA
21 2
FN1N1
3P 5
FN2N2
6P 5
1 号杆属拉杆，只考虑强度
FN1[]A
[P 1]5 3[]1 4d27.7 0kN
①l N1
N2
l
l②
lP
l
E = 120 GPa l = 1000
N1、N2都达到临界P压 最力 大时 ，即
P cos
2EI
l1 2
（1）
P sin
2EI
l22
（2）
① 90
②
将式 (2)除以(1)式 ,便得