第二章综合测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间100分钟 第Ⅰ卷(选择题，共32分)一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分．)1．经过抛物线y 2＝4x 的焦点，且方向向量为a ＝(1，－2)的直线l 的方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．2x ＋y －2＝0C ．x ＋2y －1＝0D ．2x －y －2＝0解析：由题设知l 过点(1,0)，斜率为－2，∴l 的方程为y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0，选B.答案：B2．方程x 22sin θ＋3＋y 2sin θ－2＝1所表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线解析：∵－1≤sin θ≤1，∴－3≤sin θ－2≤－1， －2≤2sin θ≤2，∴1≤2sin θ＋3≤5. 答案：C3．设P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点，F 1、F 2为焦点，如果∠PF 1F 2＝75°，∠PF 2F 1＝15°，则椭圆的离心率为( )A.22B.32C.23D.63解析：由定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 即在Rt △中，2c sin15°＋2c cos15°＝2a ∴c 2a 2＝1(sin15°＋cos15°)2＝11＋sin30°＝23∴e ＝63. 答案：D4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32 C ．2 D ．3解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，故不妨设点A (－p 2，pb 2a )，B (－p 2，－pb2a )则△AOB的面积为p 2×pb 2a ＝3①.又双曲线的离心率e ＝c a ＝2，所以e 2＝c2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4.从而可得b ＝3a ，代入①中可以解得p ＝2.故选C.答案：C5．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．4 2 解析：双曲线中，c ＝3＋p 216，∴左焦点(－3＋p 216，0)，抛物线准线方程x ＝－p2.由题意得－3＋p 216＝－p2，由p ＞0，∴p ＝4.答案：C6．(2018年高考·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 23－y 29＝1B.x 29－y 23＝1 C.x 24－y 212＝1 D.x 212－y 24＝1解析：由题意不妨设A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )， 双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0， 则d 1＝|bc －b 2|a 2＋b 2，d 2＝|bc ＋b 2|a 2＋b 2，故d 1＋d 2＝|bc －b 2|a 2＋b 2＋|bc ＋b 2|a 2＋b 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2c＝2b ＝6，故b ＝3.又c a ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2，所以b 2＝3a 2，得a 2＝3. 所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 答案：A7．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254x B ．y 2＝452xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y解析：设y 2＝2px ，则抛物线必过(40,30)代入得 p ＝454，∴y 2＝452x . 答案：B8．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1解析：图1由焦点重合得m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2，故m >n .接下来，判断e 1e 2与1的大小，可取特殊值来快速判断．如取n ＝1，则m ＝3，e 1＝c a ＝3－13，e 2＝21，得e 1e 2＝23×2>1.故选A.答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共68分)二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分．) 9．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．解析：解法1：不妨令a ＝1，则双曲线的渐近线方程是y ＝±bx .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bx x －3y ＋m ＝0，得A (m 3b －1，bm3b －1)，将此坐标中的“b ”用“－b ”代换，得B (－m 3b ＋1，bm 3b ＋1)，则线段AB 中点的坐标为M (m9b 2－1，3b 2m9b 2－1)，因为|P A |＝|PB |，所以，k PM ＝－3，即3b 2m9b 2－1－0m 9b 2－1－m ＝－3，化简得b 2＝14，则c 2＝54，故离心率为52.解法2：解方程组⎩⎨⎧y ＝b axx －3y ＋m ＝0及⎩⎨⎧y ＝－b a xx －3y ＋m ＝0，得A (am 3b －a ，bm 3b －a )，B (－am 3b ＋a ，bm3b ＋a)，则线段AB 中点的坐标为M (a 2m 9b 2－a 2，3b 2m9b 2－a 2)，因为|P A |＝|PB |，所以，k PM＝－3，即3b 2m9b 2－a 2－0a 2m 9b 2－a 2－m＝－3，化简得a 2＝4b 2，下略．答案：5210．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是__________．解析：x 22＋y 22k ＝1，由2k >2知0<k <1.答案：0<k <111．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为__________．解析：由题意得y 212－x 24＝1，a ＝23，c ＝4，椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝a 2－c 2＝4，∴y 216＋x24＝1.答案：y 216＋x 24＝112．椭圆x 25a ＋y 24a 2＋1＝1的焦点在x 轴上，则它的离心率的取值范围是__________．解析：由题意知，5a >4a 2＋1，∴14<a <1，离心率e 2＝5a －4a 2－15a＝1－(4a 5＋15a )，∵a >0，4a 5＋15a ≥45(当且仅当a ＝12时取等号)，∴e 2≤15，∴0<e ≤55.答案：(0，55]13．(2018年高考·北京卷)已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．解析：由题意知，a >0，对于y 2＝4ax ，当x ＝1时，y ＝±2a ，由于l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，所以4a ＝4，所以a ＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．答案：(1，0)14．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5，0)，e 1＝(2,1)、e 2＝(2，－1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a 、b ∈R )，则a 、b 满足的一个等式是________．解析：由OP →＝a e 1＋b e 2(a 、b ∈R )，且e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，设P(x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋2b y ＝a －b，代入双曲线Γ方程中：x 24－y 2＝1， 得：ab ＝14. 答案：ab ＝14三、解答题(本题共6小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(6分)已知圆方程x 2＋y 2＝4，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段PP ′，P ′为垂足，求线段PP ′中点M 的轨迹方程．图2解：如图2，设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，P ′(0，y 0)，则⎩⎨⎧x ＝x 02y ＝y 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝y .∵x 20＋y 20＝4，∴(2x )2＋y 2＝4，∴x 2＋y24＝1.∴动点M 的轨迹方程是y 24＋x 2＝1，图形是一个椭圆．16．(6分)已知双曲线与椭圆x 236＋y 249＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为37，求双曲线的方程．解：椭圆x 236＋y 249＝1的焦点为(0，±13)，离心率为e 1＝137.由题意可知双曲线的两焦点为(0，±13)，离心率e 2＝133.∴双曲线c ＝13，a ＝3，b 2＝c 2－a 2＝4 ∴双曲线方程为y 29－x 24＝1.17．(6分)已知双曲线E 的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率e ＝62，且双曲线过点P (2,32)，求双曲线E 的方程．解：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 由题知，e ＝c a ＝62，故c 2＝32a 2，b 2＝12a 2. 故双曲线方程为x 2a 2－2y 2a 2＝1或y 2a 2－2x 2a 2＝1.又因为双曲线过点P (2,32)，所以4a 2－36a 2＝1或18a 2－8a 2＝1，显然前者无解，后者解得a 2＝10，则b 2＝5.故所求双曲线方程为y 210－x 25＝1.18．(8分)设抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，准线为l .A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．解：(1)由对称性知：△BFD 是等腰直角三角形，斜边 |BD |＝2p点A 到准线l 的距离d ＝|F A |＝|FB |＝2p S △ABD ＝42⇔12×|BD |×d ＝42⇔p ＝2 所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8 (2)由对称性设A (x 0，x 202p )(x 0>0)，则F (0，p 2)点A ，B 关于点F 对称得：B (－x 0，p －x 202p )⇒ p －x 202p ＝－p 2⇔x 20＝3p 2得：A (3p ，3p 2)，直线m ：y ＝3p 2－p 23px ＋p 2⇔x －3y ＋3p2＝0x 2＝2py ⇔y ＝x 22p ⇒y ′＝x p ＝33⇒x ＝33p ⇒切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 3，p 6 直线n ：y －p 6＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3p 3⇔x －3y －36p ＝0 坐标原点到m ，n 距离的比值为3p 2∶3p6＝3. 19．(8分)图3如图3，直角梯形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，AD＝32，BC＝12，椭圆F以A、B为焦点，且经过点D.(1)建立适当的直角坐标系，求椭圆F的方程；(2)是否存在直线l与椭圆F交于M、N两点，且线段MN的中点为点C，若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．解：图4(1)以AB的中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图4，则A(－1,0)，B(1,0)，C(1，12)，D(－1，32)．设椭圆F 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，得⎩⎨⎧(－1)2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，a 2＝b 2＋1得4a 4－17a 2＋4＝0，∵a 2>1，∴a 2＝4，b 2＝3，， ∴所求椭圆F 方程为x 24＋y 23＝1(2)存在这样的直线l ，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，有⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1x 224＋y 223＝1两式相减得14(x 21－x 22)＋13(y 21－y 22)＝0，∵x 1≠x 2有y 1－y 2x 1－x 2＝－34×x 1＋x 2y 1＋y 2，∵C (1，12)是MN 中点，有x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1，得y 1－y 2x 1－x 2＝－32，即l 斜率为－32，故所求直线l 方程y ＝－32x ＋2.20．(10分)(2016年高考·课标全国卷Ⅱ)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围． 解：(1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0. 当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0)． 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0. 解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449. (2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得 (3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0. 由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋ t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )， 故同理可得|AN |＝6k t (1＋k 2)3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k的取值范围是(32，2)．由Ruize收集整理。