幂函数分数指数幂正分数指数幂的意义是：m n m na a =（0a >，m 、n N ∈，且1n >） 负分数指数幂的意义是：1m nnma a-=（0a >，m 、n N ∈，且1n >）一、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.二、幂函数的图像幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下．从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数．③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．三、幂函数基本性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 四、幂函数的应用 题型一.幂函数的判断例1．在函数22031,3,,y y x y x x y x x===-=中，幂函数的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3练1．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）A ．3x y -=B ．3-=x yC ．32x y =D ．13-=x y 题型二.幂函数图像问题例 2.幂函数n my x =（m 、n N ∈，且m 、n 互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有（ ） ()A m 、n 为奇数且1mn <()B m 为偶数，n 为奇数，且1mn > ()C m 为偶数，n 为奇数，且1mn <()D m 奇数，n 为偶数，且1mn>练2.右图为幂函数y x α=在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）()A a b c d >>> ()B b a d c >>>()C a b d c >>>()D a d c b >>>解：取12x =， 由图像可知：11112222cdba⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b d c ⇒>>>，应选()C ． 题型三.幂函数比较大小的问题 例3.比较下列各组数的大小： （1）131.5，131.7，1；（2）(37，(37，(37；（3）232-⎛- ⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1--． 解：（1）底数不同，指数相同的数比大小，可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题．∵13y x =在()0,+∞上单调递增，且1.7 1.51>>，∴11331.7 1.51>>．（2）底数均为负数，可以将其转化为())3377=-，())3377=-，())3377=-．∵37y x =在()0,+∞上单调递增，且>>， ∴)))333777>>，即)))333777-<-<-，∴()()()333777<<．（3）先将指数统一，底数化成正数．2233--⎛= ⎝⎭⎝⎭，2233101077--⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()42331.1 1.21---=． ∵23y x -=在()0,+∞上单调递减，且7 1.21102<<，∴()2232337 1.21102---⎛⎛⎫>> ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即：()2234337 1.1102---⎛⎛⎫->->- ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性； （3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小． 题型四.幂函数含参数问题例4.若()()1133132a a --+<-，求实数a 的取值范围． 分析：若1133xy --<，则有三种情况0x y <<，0y x <<或0y x <<． 解：根据幂函数的性质，有三种可能：10320a a +<⎧⎨->⎩或10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10320132a a a a+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得：()23,1,32a ⎛⎫-∞- ⎪⎝∈⎭．练4．已知幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m的值．解：∵幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．练5．幂函数()3521----=m x m m y ，当x ∈(0,+∞)时为减函数，则实数m 的值为( )A. m ＝2B. m ＝－1C. m ＝－1或m ＝2D. 251±≠m题型五、幂函数与函数的性质综合题例5、求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．练6．已知f(x)＝2x2，(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性并证明；(2)当x∈[1，＋∞)时，求f(x)的最大值．解： 函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数． 证明如下：任取x 1、x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，f(x 1)－f(x 2)＝2x 12－2x 22＝2(x 22－x 12)x 12x 22＝2(x 2＋x 1)(x 2－x 1)x 12x 22∵0<x 1<x 2，∴x 1＋x 2>0，x 2－x 1>0，x 12x 22>0. ∴f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)． ∴函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．(2)由(1)知，f(x)的单调减区间为(0，＋∞)，∴函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上的最大值为f(1)＝2.【同步练习】1. 下列函数中不是幂函数的是（ ）Ａ．y = Ｂ．3y x = Ｃ．2y x = Ｄ．1y x -= 答案：Ｃ2. 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ）Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -= 答案：Ｂ3. 下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（ ）Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x -= Ｄ．32y x -= 答案：Ｄ4．函数y ＝（x 2－2x ）21－的定义域是（ ）A ．{x |x ≠0或x ≠2}B ．（－∞，0） （2，＋∞）C ．（－∞，0）］ ［2，＋∞］D ．（0，2）解析：函数可化为根式形式，即可得定义域． 答案：B5．函数y ＝（1－x 2）21的值域是（ ）A ．［0，＋∞］B ．（0，1）C ．（0，1）D ．［0，1］ 解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t ＝1－x 2，则y ＝t ． ∵－1≤x ≤1，∴0≤t ≤1，∴0≤y ≤1． 答案：D6．函数y ＝52x 的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，1）B ．（－∞，0）C ．［0，＋∞］D ．（－∞，＋∞） 解析：函数y ＝52x 是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性可知选B ． 答案：B 7．若a 21＜a21－，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ．a ＞0C ．1＞a ＞0D ．1≥a ≥0 解析：运用指数函数的性质，选C ． 答案：C8．函数y ＝32)215(x x －＋的定义域是 。

解析：由（15＋2x －x 2）3≥0．∴15＋2x －x ＜20．∴－3≤x ≤5．答案：A 9．函数y ＝221m m x－－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是________．解析：m 的取值应该使函数为偶函数．故m ＝－1．答案：m ＝－110、讨论函数y ＝52x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．思路：函数y ＝52x 是幂函数．（1）要使y ＝52x ＝52x 有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ．（2）∵x ∈R ，∴x 2≥0．∴y ≥0．（3）f （－x ）＝52)(x －＝52x ＝f （x ）， ∴函数y ＝52x 是偶函数；（4）∵n ＝52＞0， ∴幂函数y ＝52x 在［0，＋∞］上单调递增．由于幂函数y ＝52x 是偶函数，∴幂函数y ＝52x 在（－∞，0）上单调递减． （5）其图象如下图所示．12．已知函数y ＝42215x x －－． （1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．解析：这是复合函数问题，利用换元法令t ＝15－2x －x 2，则y ＝4t ， （1）由15－2x －x 2≥0得函数的定义域为［－5，3］， ∴t ＝16－（x －1）2∈［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数． （3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x ＝1，∴x ∈［－5，1］时，t 随x 的增大而增大；x ∈（1，3）时，t 随x 的增大而减小．又∵函数y ＝4t 在t ∈［0，16］时，y 随t 的增大而增大，∴函数y ＝42215x x －－的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3］． 答案：（1）定义域为［－5，3］，值域为［0，2］； （2）函数即不是奇函数，也不是偶函数； （3）（1，3］．。