1
是输出响应的单调和振荡过程的分界，通常称为临界
o
t
临界阻尼响应
（四）无阻尼（ 0 ）的情况
系统有一对共轭纯虚数极点 p1, 2 j n ,它们在S平面上的位置如 将 0 代入 图所示。
C (t ) 1 e nt (cos d t

C (t ) 1 cos n t
0
2
P 1 n n
1
系统具有实部为正的极点，
P2 n n 2 1
输出响应是发散的，此时系统已无法正常工作。
根据上面的分析可知，在不同的阻尼比时，二阶系统的响应具有不同的特
点。因此阻尼比

是二阶系统的重要特征参数。
若选取
n t为横坐标，可作出不同阻尼比时二阶系统单位阶跃响应曲线。
j
1
2
sin d t )
系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程，其振荡频率为 [s] C(t) 1 o
n
n
P 1
o
P2

(a)
0
(b)
t
无阻尼时的极点分布和响应
综上所述，不难看出频率
n 和
的物理意义。 d
——无阻尼自然振荡频率，此时系统输出为等幅振荡 n 阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过程。 —— d 分析
如图所示，此时曲线只和阻尼比

有关。
C (t )
0.1
0.3 0.5 0.7
越小，响应特性振荡得越厉害, 随着 增大到一定程度，响应特
性变成单调上升的。

系统无振荡时，以临界阻尼时过 渡过程的时间最短，此时，系统 具有最快的响应速度。

系统在欠阻尼状态时，若阻尼比
2
nt
1
2 [C ( s) (s n ) ] s n n
C (t ) 1 e n te
nt
临界阻尼时极点的分布 C(t)
1 e nt (1 n t )
(t 0)
1
系统的输出响应无超调、无振荡,由零开始单调上升， 最后达到稳态值1，不存在稳态误差。 阻尼状态。
n t ] e cos d t 2
d n t e sin d t £ [ ] 2 2 ( s n ) d
C (t ) 1 e nt (cos d t
1 e
n t 2 2
j
[s]

1 2
P 1
sin d t )
> 1 ）的情况
P2 P 1
0

系统具有两个不相等的负实数极点
2 P 1 1 n n
P2 n n 1
2
1
过阻尼时极点分布
(二)欠阻尼（ 0 1 ）的情况
系统具有一对在S平面的左半部的共轭复 数极点， 2
p1 n j n 1
arctg
1 2
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由稳态和瞬态 两部分组成：
稳态部分等于1，表明不存在稳态误差；
瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由 n (即特征根实部）决定； 振荡角频率为阻尼振荡角频率d（特征根虚 部），其值由阻尼比ζ和自然振荡角频率n决定。
（三）临界阻尼 （ 1 ）的情况
n
n 1 sin d t )
n o


C (t ) 1
e nt 1 2
sin( d t ) t 0
P 2
0 1
欠阻尼时的极点分布
sin 1 2
cos

arccos
在 0.4 ～ 0.8 之间，则系统的过渡 过程时间比临界阻尼时更短，此
0
1
2
nt
二阶系统的阶跃响应
时振荡特性也并不严重。
一般希望二阶系统工作在 0.4 ~ 的欠阻尼状态下，通 0.8 1 常选取 2 作为设计系统的依据。
式中
d n 1 ，称为阻尼自振频率 2
0 1
欠阻尼时的极点分布
1 1
2 2 n
s n n d 1 C ( s) 2 2 2 2 s (s n ) d d (s n ) d
£[
-1
-1
s n ( s n ) 2 d
系统具有两个相等的负实数极点 p1, 2 n ，
j
[s]
n 2 0 1 2 C ( s) 2 s ( s n ) s s n ( s n ) 2
0 [C ( s) s] s 0 1
P 1P 2
n
o

1 {
d [C ( s )( s n ) 2 ]s n 1 ds
2
j
C ( s)
n s ( s n j d )( s n j d )
0 1s 2 2 s ( s n ) 2 d
P 2
p 2 n j n 1 2
[s]
P 1
n
n
n 1 2

o


0 1
3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应
设系统的输入为单位阶跃函数，则 系统输出响应的拉氏变换表达式为
n2 1 C ( s ) ( s ) R( s ) 2 . 2 s 2 n s n s
对上式取拉氏反变换，即可求得二阶系 统的单位阶跃响应 。 （一） 过阻尼（
j
[s]