15
例题
例1： 一质点沿半径为1m的圆周运动，
运动方程为 2 3t 3
式中 以弧度计，t以秒计，求：
(1) t=2s时，质点的切向和法向加速度； (2) 当总加速度的方向和切向加速度成
45o角时，其角位移 是多少?
如果给出的运动方程形式是直角坐标系下 的，该如何求解？
16
讨论
例2 一歼击机在高空 A 点A时的水平速率为1 940
14
用加速度 a an at 判定质点的运动
(1) an
0，at
0 变速率曲线运动：v 方向改变，大小改变。
(2) an
0，at
0 匀速率曲线运动：v 方向改变，大小不变。
(3) an
0，at
0 变速率直线运动：v 方向不变，大小改变。
(4) an
0，at
0 匀速率直线运动：v 方向不变，大小不变。
at是引起速度大小改变的加速度。
an
v2 R
─ 法向加速度或向心加速度 方向指向圆心，其值为正。
an是引起速度方向改变的加速度。
9
圆周运动加速度
圆周运动加速度
a
at
an
Ret
Rω2en
大小 a at2 an2
方向 θ tan 1 an at
不一定再指向圆心
y
v
a
en et
o
x
10
圆周运动加速度
R(t)et
y B
R
e tA
o
x
6
圆周运动切向加速度
作变速率圆周运动时
质点加速度
a lim
v
d vet
t0 t
dv dt
et
v
det dt
dt
切向加速度
at
dv dt
R
d
dt
R
d 2s dt 2
角加速度
v2
et2 v1
o
et1
R
v2
v1
et 2
et1
7
圆周运动法向加速度
a
dv dt
et
v
det dt
切向单位矢量 et 2
· lim Δet · Δt0 Δt
det dt
dθ dt en
v v et
et1 O enR
法向单位矢量
法向单位矢量
法向加速度
an
vω
ω2R
v2 R
et
et1
et 2
8
圆周运动加速度
at
dv dt
─ 切向加速度 方向沿切线方向，可正可负。
o
x
12
匀速率圆周运动
特点
v 常量
速度方向改变，大小不变。
at R 0
a an anen
Rω2en
0
常量
0 t
13
匀变速率圆周运动
特点 dω 常量
dt
dω dt
ω
t
dω dt
ω0
0
如 t 0时, 0, 0
θ
0 t θ0 0t
1 2
t 2
2
2 0
2 (
0)
平面极坐标
平面极坐标系下，任意一点的 坐标由R和θ表示。
平面极坐标系和直角坐标系的关
y
y
o
ห้องสมุดไป่ตู้
系：
x Rcos θ
A
R
xx
y Rsin θ
1
自然坐标
在已知质点的运动 轨迹方程时可以选用自 然坐标系。
· P1 et1 en1 O1
· O2
en2
et2
P2
自然坐标系下，因为质点的轨迹方程已知， 所以用弧长来描述质点的运动：
vA
B
km·h-1 ,沿近似圆弧曲线俯 r
冲到点B，其速率为2 192
km·h-1 , 经历时间为3 s , o
vB
设 AB 的半径约为 3.5 km ,
飞机从A到B过程视为匀变速率圆周运动，不
计重力加速度的影响，求：(1) 飞机在点B的
加速度；(2)飞机由点A到点B所经历的路程.
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讨论
解（1）vA 1940 km h1 A
v A
vB 2192 km h1
t 3s，r 3.5103 m
r an
vB vA
dv
at
t
dt
0
o
a
B
at
v B
at
vB
vA t
而B点
an
vB2 r
解得：at 23.3m s2，an 106 m s2
18
讨论
a at2 an2 109 m s2
arctan at 12.4o
速率
v lim Δs R lim Δθ
Δt0 Δt
Δt0 Δt
v(t) R(t)
y B
R
e tA
o
x
5
圆周运动速度
速度
v
lim
r
lim
r
lim
s
t0t lim r t0 s
t0rs
lim
t 0
s
et
t 0
et
t
lim s v R(t)
t0 t
v
vet
ds dt
et
an
A
r an
o
v A
B
a
at
v B
（2）矢径 r所转过的角度
At
1t 2
2
s
r
v At
1 2
att 2
1722 m
19
s s(t)
2
圆周运动的角量
在平面极坐标系下,r =常量。
角坐标 (t ) 角位移
单位：rad。
角速度
lim d
t0 t dt
单位rad·s-1
y
B
r A
o
x
3
圆周运动的角量
角加速度
lim dω
t0 t dt
单位rad·s-2
4
圆周运动速率
在平面极坐标系下，
s s(t) R (t)
【思考】质点能否按图示的加速度沿圆周运动？如 果能，分别表示什么情形？
a1 0 a2 a3
a4 圆周运动加速度总
指向圆内侧
推广：曲线运动加速度 总指向曲线内凹一侧
11
角量和线量的关系
ds Rdθ
v ds R dθ Rω dt dt
an
v2 R
Rω2
at
dv dt
R
dω dt
Rα
y
B ds
R d A