2012年全国初中联赛四川初三数学竞赛初赛
参考解答与评分标准
一、选择题（每小题7分，共42分）
1． A 2．B 3．D 4． D 5．C 6．B 二、填空题（每小题7分，共28分） 1．2 2．2 3．40 4．24 三、（本大题满分20分）
如图，一次函数28y x =-+的图象与两坐标轴分别交于P 、Q 两点，在线段PQ 上有一点A ，过A 点分别做两坐标轴的垂线，垂足分别为B 、C ．
（I ）若矩形ABOC 的面积为4，求A 点坐标；
（II ）若点A 在线段PQ 上移动，求矩形ABOC 面积的最大值．
解：（1）设点A 坐标为(,)x y ，根据题意得
28
4y x xy =-+⎧⎨
=
⎩
，………（
5分） 解得24x y ⎧=
⎪⎨=-
⎪⎩或24x y ⎧=-⎪⎨=
+⎪
⎩
所以A
点坐标为(2
-或(2+……………………………（10分） （2）设点A 坐标为(,)x y ，则
2(28)28ABOC S xy x x x x ==-+=-+……………………………… …………（15分）
22(2)8x =--+
所以当2x =时，矩形ABOC 面积取得最大值为8．…………………………………（20分）
四、（本大题满分25分）
如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，且AD DC CB =+，过D 作AC 的垂线交△ABC 的外接圆于M ，过M 作AB 的垂线MN ，交圆于N ，求证：MN 为△ABC 外接圆的直径． 解：延长AC 至E ，使CE CB =，…………………………（5分） 则由已知得AD DE =，
又MD AE ⊥，所以MA ME =，…………………………（10分） 所以MEA MAC MBC ∠=∠=∠， 又由CE CB =得CEB CBE ∠=∠， 所以MEB MBE ∠=∠，………………………………（15分） 所以MB ME =， 所以MA MB =，………………………………………（20分） 所以M 为优弧AB 的中点，
又因为M N A B ⊥，所以MN 为△ABC 外接圆的直径．……………………………（25分）
五、（本大题满分25分）
已知方程组2
x y z xy yz zx a xy z a ++=⎧⎪
++=⎨⎪+=⎩
的所有各组解(,,)x y z 都是由正实数组成的,其中a 是参数．试求a 的取值范
围．
解：由2x y z ++=得2x y z +=-①
xy z a +=得xy z a =-+②，
又()xy yz zx xy x y z a ++=++=③，
将①②代入③得(2)z a z z a -++-=，化简得20z z -+=…………………………（5分） 此方程的两个根为0z =和1z =．
因,,x y z 都是正实数，所以1z =．……………………………………………………（10分）
将1z =代入①②得1
1x y xy a +=⎧⎨=-⎩
，
因此,x y 是下面辅助方程的两个根
2(1)0n n a -+-=④．…………………………………………………………………（15分）
因为,x y 是实数，所以214(1)0a ∆=--≥
5
4
a ≤
．……………………………………………………………………………………（20分） 因为,x y 都是正数，所以10a ->，即1a > 因此可得a 的取值范围是5
14
a <≤
．……………………………………………………（25分）。