1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1) 设商品的需求函数为1005Q P =-,其中,Q P 分别表示为需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是_________.(2) 级数21(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域为_________. (3)交换积分次序1(,)dy f x y dx =⎰_________.(4) 设A 为m 阶方阵,B 为n 阶方阵,且0,,0A A a B b C B ⎛⎫===⎪⎝⎭,则C =________. (5) 将,,,,,,C C E E I N S 等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为__________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设2()()xax F x f t dt x a =-⎰,其中()f x 为连续函数,则lim ()x a F x →等于 ( ) (A) 2a (B) 2()a f a(C) 0 (D) 不存在(2) 当0x →时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ( )(A) 2x (B) 1cos x -1 (D) tan x x -(3) 设A 为m n ⨯矩阵,齐次线性方程组0Ax =仅有零解的充分条件是 ( )(A) A 的列向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性无关 (D) A 的行向量线性相关(4) 设当事件A 与B 同时发生时,事件C 必发生,则 ( )(A) ()()()1P C P A P B ≤+- (B) ()()()1P C P A P B ≥+- (C) ()()P C P AB = (D) ()()P C P A B =U(5) 设n 个随机变量12,,,n X X X L 独立同分布,2111(),,ni i D X X X n σ===∑2211()1ni i S X X n ==--∑,则 ( ) (A) S 是σ的无偏估计量 (B) S 是σ的最大似然估计量 (C) S 是σ的相合估计量(即一致估计量) (D) S 与X 相互独立三、(本题满分5分)设函数ln cos(1),1,1sin ()21, 1.x x x f x x π-⎧≠⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩问函数()f x 在1x =处是否连续?若不连续,修改函数在1x =处的定义使之连续.四、(本题满分5分)计算arccot .xxe I dx e =⎰五、(本题满分5分)设sin()(,)xz xy x yϕ=+,求2z x y ∂∂∂,其中(,)u v ϕ有二阶偏导数.六、(本题满分5分)求连续函数()f x ,使它满足20()2()xf x f t dt x +=⎰.七、(本题满分6分)求证:当1x ≥时,212arctan arccos 214x x x π-=+.八、(本题满分9分)设曲线方程(0)xy e x -=≥.(1) 把曲线x y e -=,x 轴,y 轴和直线(0)x ξξ=>所围成平面图形绕x 轴旋转一周,得一旋转体,求此旋转体体积()V ξ;求满足1()lim ()2V a V ξξ→+∞=的a . (2) 在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积.九、(本题满分7分)设矩阵A 与B 相似,其中20010022,02031100A x B y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.(1) 求x 和y 的值.(2) 求可逆矩阵P ,使得1P AP B -=.十、(本题满分6分)已知三阶矩阵0B ≠,且B 的每一个列向量都是以下方程组的解:123123123220,20,30.x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ (1) 求λ的值; (2) 证明0B =.十一、(本题满分6分)设A B 、分别为m n 、阶正定矩阵,试判定分块矩阵00A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭是否是正定矩阵.十二、(本题满分7分)假设测量的随机误差2(0,10)X N :,试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α,并利用泊松分布求出α的近似值(要求小数点后取两位有效数字). [附表]十三、(本题满分5分)一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立,以X 表示同时需要调整的部件数,试求X 的数学期望EX 和方差DX .十四、(本题满分4分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为,0,(,)0,y e x y f x y -⎧<<=⎨⎩其他,(1) 求随机变量X 的密度()X f x ; (2) 求概率{1}P X Y +≤.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(10,20]【解析】根据()10050Q P P =-≥,得价格20P ≤,又由1005Q P =-得()5Q P '=-, 按照经济学需求弹性的定义,有()5()1005Q P PP Q P Pε'=⋅=--, 令55110051005P PP Pε==>--,解得10P >.所以商品价格的取值范围是(10,20]. (2)【答案】(0,4)【解析】因题设的幂级数是缺项幂级数,故可直接用比值判别法讨论其收敛性. 首先当20x -=即2x =时级数收敛. 当2x ≠时,后项比前项取绝对值求极限有2(1)2212(2)4(2)(2)lim lim ,(1)4(2)414n n n n n n x n x n x n x n ++→∞→∞---⋅==+-+ 当2(2)14x -<,即当02202x x <-<⇔<<或24x <<时级数绝对收敛. 又当0x =和4x =时得正项级数11n n ∞=∑,由p 级数：11p n n ∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散.所以正项级数11n n∞=∑是发散的. 综合可得级数的收敛域是(0,4).注：本题也可作换元2(2)x t -=后,按如下通常求收敛半径的办法讨论幂级数14nn n t n ∞=∑的收敛性.【相关知识点】收敛半径的求法：如果1n lim n na a ρ+→∞=,其中1,n n a a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径1, 0,, 0,0, .R ρρρρ⎧≤≤+∞⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩(3)【答案】211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰【解析】这是一个二重积分的累次积分,改换积分次序时,先表成：原式(,).Df x y dxdy =⎰⎰由累次积分的内外层积分限确定积分区域D：{(,)0D x y y x =≤≤≤≤,即D 中最低点的纵坐标0y =,最高点的纵坐标1y =,D的左边界的方程是x =即 2y x =的右支,D 的右边界的方程是x =即222x y +=的右半圆,从而画出D 的图形如图中的阴影部分,从图形可见12D D D =+,且212{(,)01,0},{(,)1D x y x y xD x y x y=≤≤≤≤=≤≤≤≤所以21100010(,)(,)(,).xdy f x y dx dx f x y dy f x y dy=+⎰⎰⎰(4)【答案】(1)mn ab-【解析】由拉普拉斯展开式,(1)(1)mn mnAC A B abB==-=-.【相关知识点】两种特殊的拉普拉斯展开式：设A是m阶矩阵,B是n阶矩阵,则*,*A O AA BB O B==⋅()*1*mnO A AA BB B O==-⋅.(5)【答案】11260【解析】按古典概型求出基本事件总数和有利的基本事件即可.设所求概率为()P A,易见,这是一个古典型概率的计算问题,将给出的七个字母任意排成一行,其全部的等可能排法为7!种,即基本事件总数为7!n=,而有利于事件A的样本点数为2!2!⋅,即有利事件的基本事件数为4,根据古典概型公式2!2!1()7!1260P A⋅==.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B)【解析】方法1:lim()x aF x→为“”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以可应用洛必达法则.22()lim()lim()limxxaax a x a x af t dtxF x f t dt ax a x a→→→==--⎰⎰22()lim()1x aa f xa f a→==.故应选(B).方法2: 特殊值法.取()2f x=,则22lim()lim22xax a x axF x dt ax a→→==-⎰.显然(A),(C),(D)均不正确,故选(B).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()ttF t f x dxβα=⎰,()tα,()tβ均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f tββαα'''=⋅-⋅.(2)【答案】(D)【解析】由于0x →时,22111cos ~1~22x x x --,故2,1cos 1x x -是同阶无穷小,可见应选(D). (3)【答案】(A)【解析】齐次方程组0Ax =只有零解()r A n ⇔=.由于()r A A =的行秩=A 的列秩,现A 是m n ⨯矩阵,()r A n =,即A 的列向量线性无关.故应选(A).【相关知识点】对齐次线性方程组0Ax =,有定理如下:对矩阵A 按列分块,有()12n A ,,,ααα=L ,则0Ax =的向量形式为11220n n x x x .ααα+++=L那么, 0Ax =有非零解12n ,,,ααα⇔L 线性相关()12n r ,,,n ααα⇔<L ()r A n.⇔< (4)【答案】(B)【解析】依题意：由“当事件A 与B 同时发生时,事件C 必发生”得出AB C ⊂,故()()P AB P C ≤；由概率的广义加法公式()()()()P A B P A P B P AB =+-U 推出 ()()()()P AB P A P B P A B =+-U ；又由概率的性质()1P A B ≤U ,我们得出()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+-U ,因此应选(B).(5)【答案】(C)【解析】根据简单随机样本的性质,可以将12,,,n X X X L 视为取自方差为2σ的某总体X 的简单随机样本,X 与2S 是样本均值与样本方差.由于样本方差2S 是总体方差的无偏估计量,因此22,ES ES σσ=≠,否则若ES σ=,则22()ES σ=,22()0DS ES ES =-=.故不能选(A).对于正态总体, S 与X 相互独立,由于总体X 的分布未知,不能选(D).同样因总体分布未知,也不能选(B).综上分析,应选(C).进一步分析,由于样本方差2S 是2σ的一致估计量,其连续函数S =一定也是σ的一致估计量.三、(本题满分5分)【解析】函数()f x 在0x x =处连续,则要求00lim ()()x x f x f x →=.方法1:利用洛必达法则求极限1lim ()x f x →,因为1lim ()x f x →为“”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有1111sin(1)ln cos(1)2tan(1)cos(1)lim ()lim lim lim1sin cos cos2222x x x x x x x x f x x x xπππππ→→→→-----===--221124cos (1)lim (sin )22x x x ππππ→-==--⋅.而(1)1f =,故1lim ()1x f x →≠,所以()f x 在1x =处不连续. 若令24(1)f π=-,则函数()f x 在1x =处连续.方法2:利用变量代换与等价无穷小代换,0x →时,21cos 12x x --:；ln(1)x x +:. 求极限1lim ()x f x →,令1x t -=,则有1100ln cos(1)ln cos ln[1(cos 1)]lim ()limlim lim1sin 1cos 1cos222x x t t x t t f x x t tπππ→→→→-+-===---222200221cos 142lim lim 1248t t t t t t πππ→→--===-⋅. 以下同方法1.四、(本题满分5分) 【解析】用分部积分法:2arccot arccot 1xx xxxxxe I e dee e e dx e ---=-=--+⎰⎰22arccot (1)1xxxxe e e dx e -=---+⎰21arccot ln(1)2x x x e e x e C -=--+++, 其中C 为任意常数.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或者 .udv uv vdu =-⎰⎰五、(本题满分5分)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求zx∂∂,再求()z y x ∂∂∂∂. 由复合函数求导法,首先求x z ',由题设 121cos()x z y xy yϕϕ'''=++, 再对y 求偏导数,即得122211cos()sin()()()xy y y z xy xy xy y yϕϕϕ'''''''=-++- 12222211cos()sin()y y x x xy xy xy y y y yϕϕϕ''⎛⎫⎛⎫'''''=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 122222321cos()sin()x x xy xy xy y y yϕϕϕ'''''=----. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u vf f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂.六、(本题满分5分)【解析】两端对x 求导,得()2()2f x f x x '+=.记()2,()2P x Q x x ==,有通解()()2221()(())(2)2P x dx P x dx x x x f x e Q x e dx C e xe dx C Ce x ---⎰⎰=+=+=+-⎰⎰,其中C 为任意常数.由原方程易见(0)0f =,代入求得参数12C =.从而所求函数211()22x f x e x -=+-.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰, 其中C 为任意常数.七、(本题满分6分)【解析】方法1：令212()arctan arccos 214x f x x x π=--+,则 22222212(1)(1)()0(1)12(1)(1)x x f x x x x x +-'=+⋅≡>+-+. 因为()f x 在[1,)+∞连续,所以()f x 在[1,)+∞上为常数,因为常数的导数恒为0.故()(1)0f x f ==,即212arctan arccos 214x x x π-=+. 方法2：令212()arctan arccos 214x f x x x π=--+,则()f x 在[1,]x 上连续,在(1,)x 内可导,由拉格朗日中值定理知,至少存在一点(1,)x ξ∈,使得()(1)()(1).f x f f x ξ'-=-由复合函数求导法则,得 22222212(1)(1)()0(1)12(1)(1)x x f x x x x x +-'=+⋅≡>+-+, 所以()(1)f x f =.由(1)0f =可得,当1x ≥时,212arctan arccos 214x x x π-=+. 【相关知识点】复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅.八、(本题满分9分)【解析】对于问题(1),先利用定积分求旋转体的公式求()V ξ,并求出极限lim ()V ξξ→+∞.问题(2)是导数在求最值中的应用,首先建立目标函数,即面积函数,然后求最大值. (1)将曲线表成y 是x 的函数,套用旋转体体积公式22220()(1),()(1),22x a V y dx e dx e V a e ξξξππξππ---===-=-⎰⎰2lim ()lim (1)22V e ξξξππξ-→+∞→+∞=-=.由题设知2(1)24a e ππ--=,得1ln 22a =. (2) 过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,其中当0()y x '存在时,0()k y x '=.设切点为(,)aa e -,则切线方程为()aa y ee x a ---=--.令0x =,得(1)a y e a -=+,令0y =,得1x a =+. 由三角形面积计算公式,有切线与两个坐标轴夹的面积为21(1)2a S a e -=+. 因2211(1)(1)(1),22aa a S a ea e a e ---'=+-+=-令0,S '=得121,1a a ==-(舍去). 由于当1a <时,0S '>；当1a >时,0S '<.故当1a =时,面积S 有极大值,此问题中即为最大值.故所求切点是1(1,)e -,最大面积为 2111222S e e --=⋅⋅=. 【相关知识点】由连续曲线()y f x =、直线,x a x b ==及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积为：2()baV f x dx π=⎰.九、(本题满分7分)【解析】因为A B :,故可用相似矩阵的性质建立方程组来求解参数x 和y 的值.若1P AP -=Λ,则Λ是A 的特征向量.求可逆矩阵P 就是求A 的特征向量.(1) 因为A B :,故其特征多项式相同,即,E A E B λλ-=-即2(2)[(1)(2)](1)(2)()x x y λλλλλλ+-++-=+--.由于是λ的多项式,由λ的任意性,令0λ=,得2(2)2x y -=. 令1λ=,得3(2)2(1)y ⋅-=--. 由上两式解出2y =-与0x =.(2) 由(1)知200100202020311002--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦:. 因为B 恰好是对角阵,所以马上可得出矩阵A 的特征值,矩阵A 的特征值是1231,2,2λλλ=-==-.当11λ=-时,由()0E A x --=,100100212012312000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦,得到属于特征值1λ=-的特征向量1(0,2,1)Tα=-.当22λ=时,由(2)0E A x -=,400100222011311000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 得到属于特征值2λ=的特征向量2(0,1,1)Tα=.当32λ=-时,由(2)0E A x --=,000111222010313000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦. 得到属于特征值2λ=-的特征向量3(1,0,1)Tα=-.那么令123001(,,)210111P ααα⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,有1P AP B -=.十、(本题满分6分)【解析】对于条件0AB =应当有两个思路：一是B 的列向量是齐次方程组0Ax =的解；另一个是秩的信息即()()r A r B n +≤.要有这两种思考问题的意识.(1) 方法1：令12221311A λ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,对3阶矩阵A ,由0AB =,0B ≠知必有0A =,否则A可逆,从而11()00B A AB A --===,这与0B ≠矛盾. 故122210311A λ-=-=-,用行列式的等价变换,将第三列加到第二列上,再按第二列展开,有102215(1)031A λλλ-=-=-=-.解出1λ=.方法2：因为0B ≠,故B 中至少有一个非零列向量.依题意,所给齐次方程组0Ax =有非零解,得系数矩阵的列向量组线性相关,于是122210311A λ-=-=-,以下同方法一.(2) 反证法：对于0AB =,若0B ≠,则B 可逆,那么()1100A AB B B --===.与已知条件0A ≠矛盾.故假设不成立,0B =.【相关知识点】对齐次线性方程组0Ax =,有定理如下:对矩阵A 按列分块,有()12n A ,,,ααα=L ,则0Ax =的向量形式为11220n n x x x .ααα+++=L那么, 0Ax =有非零解 12n ,,,ααα⇔L 线性相关()12n r ,,,n ααα⇔<L ()r A n.⇔< 对矩阵B 按列分块,记123(,,)B βββ=,那么123123(,,)(,,)(0,0,0)AB A A A A ββββββ===.因而0i A β=(1,2,3)i =,即i β是0Ax =的解.十一、(本题满分6分)【解析】在证明一个矩阵是正定矩阵时,不要忘记验证该矩阵是对称的. 方法1：定义法.因为A B 、均为正定矩阵,由正定矩阵的性质,故,TTA AB B ==,那么000000TT TT A A A C C B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即C 是对称矩阵. 设m n +维列向量(,)TTTZ X Y =,其中1212(,,,),(,,,)TT m n Xx x x Y y y y ==L L ,若0Z ≠,则,X Y 不同时为0,不妨设0X ≠,因为A 是正定矩阵,所以0TX AX >. 又因为B 是正定矩阵,故对任意的n 维向量Y ,恒有0TY AY ≥.于是0(,)00TTTT TA X Z CZ X Y X AX Y AYB Y ⎡⎤⎛⎫==+> ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭, 即TZ CZ 是正定二次型,因此C 是正定矩阵.方法2：用正定的充分必要条件是特征值大于0,这是证明正定时很常用的一种方法.因为A B 、均为正定矩阵,由正定矩阵的性质,故,TTA AB B ==,那么000000TT TT A A A C C B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即C 是对称矩阵. 设A 的特征值是12,,,,m λλλL B 的特征值是12,,,.n μμμL 由,A B 均正定,知0,0i j λμ>>(1,2,,,1,2,,)i m j n ==L L .因为m m n n E AE C E A E B E Bλλλλλ--==-⋅--()()()()11,m m λλλλλμλμ=----L L于是,矩阵C 的特征值为12,,,,m λλλL 12,,,.n μμμL 因为C 的特征值全大于0,所以矩阵C 正定.十二、(本题满分7分)【解析】设事件A =“每次测量中测量误差的绝对值大于19.6”,因为 2(0,10)X N :,即220,10EX DX μσ====.根据正态分布的性质则有：{}19.6()19.6X p P A P X P μμσσ⎧--⎫==>=>⎨⎬⎩⎭|0|19.60|| 1.96101010X X P P --⎧⎫⎧⎫=>=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭[]1 1.96 1.961(1.96)( 1.96)10X P ⎧⎫=--≤≤=-Φ-Φ-⎨⎬⎩⎭1[(1.96)(1(1.96))]22(1.96)=-Φ--Φ=-Φ 2[(1(1.96)]0.05=-Φ=.设Y 为100次独立重复测量中事件A 出现的次数,则Y 服从参数为100,0.05n p ==的二项分布.根据二项分布的定义,{}(1)(0,1,2)kkn kn P Y k C p p k -==-=L ,则至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α为：{3}1{3}1{0}{1}{2}P Y P Y P Y P Y P Y α=≥=-<=-=-=-=0010011100122100210010010010.05(10.05)0.05(10.05)0.05(10.05)C C C --=------100999821009910.951000.950.050.950.052⨯=--⨯⨯-⨯⨯. 根据泊松定理,对于成功率为p 的n 重伯努利试验,只要独立重复试验的次数n 充分大,而p 相当小(一般要求100,0.1n p ≥≤),则其成功次数可以认为近似服从参数为的泊松分布,具体应用模式为若(,)Y B n p :,则当n 充分大,p 相当小时当Y 近似服从参数为np λ=的泊松分布,即 {}()(1)(0,1,2)!k k kn knp nnp P Y k C p p e k k --==-≈=L .设Y 为100次独立重复测量中事件A 出现的次数,则Y 服从参数为100,0.05n p ==的二项分布.故{3}1{3}1{0}{1}{2}P Y P Y P Y P Y P Y α=≥=-<=-=-=-=0122()()()110!1!2!2e e e e e e λλλλλλλλλλλ------≈---=---2551(15)0.872e -=-++≈.十三、(本题满分5分) 【解析】令随机变量1,0,i i X i ⎧=⎨⎩第个部件需调整第个部件不需调整，，1,2,3i =. 依题意123,,X X X 相互独立,且123,,X X X 分别服从参数为0.1,0.2,0.3的01-分布,即由题意知123X X X X =++,显然X 的所有可能取值为0,1,2,3,又123,,X X X 相互独立, 所以(1) 123123{0}{0}{0,0,0}P X P X X X P X X X ==++=====123{0}{0}{0}0.90.80.70.504P X P X P X =====⨯⨯=,12312312312312312312{1}{1} {1,0,0}{0,1,0}{0,0,1} {1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0P X P X X X P X X X P X X X P X X X P X P X P X P X P X P X P X P X ==++=====+===+=======+===+==3}{1} 0.10.80.70.90.20.70.90.80.30.398,P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=123123{3}{3}{1,1,1}P X P X X X P X X X ==++=====123{1}{1}{1}0.10.20.30.006P X P X P X =====⨯⨯=.由{0}{1}{2}{3}1P X P X P X P X =+=+=+==得出{2}1{0}{1}{3}10.5040.3980.0060.092.P X P X P X P X ==-=+=+==---=(2)令1122{1}0.1,{1}0.2,p P X p P X ======33{1}0.3,p P X ===因i X 均服从01-分布,故,(1)i i i i i EX p DX p p ==-所以123()0.1()0.2()0.3E X E X E X = ,= ,=,123()0.10.90.09,()0.20.80.16,()0.30.70.21D X D X D X =⨯==⨯==⨯=123X X X X =++.因i X 服从01-分布, 且123,,X X X 相互独立,故由数学期望与方差的性质 123123()0.6EX E X X X EX EX EX =++=++=.123123()0.46DX D X X X DX DX DX =++=++=.注：X 的期望与方差也可以直接用期望与方差的公式来计算：()0{0}1{1}2{2}3{3}00.50410.39820.09230.0060.6,E X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯=22222222()0{0}1{1}2{2}3{3}00.50410.39820.09230.0060.46.D X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯=十四、(本题满分4分)【解析】(1)已知联合概率密度可以直接利用求边缘密度的公式()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰求出边缘概率密度.当0x ≤时,()00X f x dy +∞-∞==⎰;当0x >时,()(,)0xy yx X xxf x f x y dy dy e dy e e +∞+∞+∞----∞-∞==+=-=⎰⎰⎰.因此X 的密度为,0,()0,0.x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩(2) 概率{1}P X Y +≤实际上是计算一个二重积分,根据概率的计算公式：1{1}(,)x y P X Y f x y dxdy +≤+≤=⎰⎰,再由二重积分的计算,化为累计积分求得概率{1}P X Y +≤.11201{1}(,)x y xx y P X Y f x y dxdy dx e dy--+≤+≤==⎰⎰⎰⎰1111(1)112222[]12.x xx xee dx e dx e dx ee -------=--=-+=-+⎰⎰⎰。