培优训练二：实数（提高篇）（一）【内容解析】（1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数；要准确、深刻理解概念。

如平方根的概念：①文字概念：若一个数x 的平方是a ，那么x 是a 的平方根；②符号概念：若a x =2，那么a x ±=；③逆向理解：若x 是a 的平方根，那么a x =2。

（2）性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数a ≥0⇔式子有意义；②在算术平方根中，其结果a 是非负数，即a ≥0； ③计算中的性质1：a a =2)(（a ≥0）；④计算中的性质2：⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ；⑤在立方根中，33a a -=-（符号法则）⑥计算中的性质3：a a =33)(；a a =33（3）实数的分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数正无理数无理数负无理数零正有理数有理数实数 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数零正无理数正有理数正实数实数（二）【典例分析】1、利用概念解题：例1. 已知：18-+=b a M 是a +8的算术数平方根，423+--=b a b N 是b -3立方根，求N M +的平方根。

练习：1. 已知234323-=-=+y x y x ，，求x y +的算术平方根与立方根。

2．若2a ＋1的平方根为±3，a －b ＋5的平方根为±2，求a+3b 的算术平方根。

例2、已知x 、y 互为倒数，c 、d 互为相反数，a 的绝对值为3，z 的算术平方根是5，求22c d xy a-++的值。

2、利用性质解题：例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数．变式：①已知2a －1和a －11是一个数的平方根，则这个数是 ；②若2m －4与3m －1是同一个数两个平方根，则m 为 。

例2．若y =x -3＋3-x ＋1，求（x ＋y ）x 的值例3．x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

⑴ ⑵⑶ ⑷例4．已知321x -与323-y 互为相反数，求yx21+的值.练习： 1.若一个正数a 的两个平方根分别为x +1和x +3，求a 2005的值。

2. 若（x －3）2＋1-y =0，求x ＋y 的平方根；3. 已知,22421+-+-=x x y 求yx 的值.4. 当x 满足下列条件时，求x 的范围。

① 2)2(x -=x －2 ②x -3=3-x ③x =x5. 若3387=-a ，则a 的值是6. ①2y x -x 的取值范围是________；②5y x =-x 的取值范围是________；③3y x =+x 的取值范围是________；④3y x =-中x 的取值范围是________； 7. 若x ＝521x -________33x =-，则x －1＝________．3、利用取值范围解题：例1. 已知有理数a 满足a a a =-+-20052004，求a -20042的值。

例2. 已知实数x ，y 满足()21310x x y -++-=,的值是 ．例3.已知x yy +=则= 。

例4.在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不相等的实数，则22223x xy y x xy y +--+的值是 。

4、利用估算比较大小、计算： 比较大小的常用方法还有： ①差值比较法：如：比较1－2与1－3的大小。

解 ∵（1－2）－（1－3）=3－2＞0 ， ∴1－2＞1－3。

②商值比较法（适用于两个正数） 如：比较51-3与51的大小。

解：∵51-3÷51=3-1＜1 ∴51-3＜51③倒数法：倒数法的基本思路是：对任意两个正实数a ，b ，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当a1＞b 1时，a ＜b 。

来比较a 与b 的大小。

（以后介绍）④取特值验证法：比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。

如：当0<x <1时，2x ，x ，x 1的大小顺序是____________。

解：（特殊值法）取x =21，则：2x =41，x 1=2。

∵41＜21＜2，∴2x ＜x ＜x1。

⑤估算法的基本是思路是设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。

例1．比较83-13与71的大小例2．若53+的小数部分是a ， 5-3的小数部分是b ，求a+b的值。

例3.设A B ==则A 、B 中数值较小的是 。

练习：1.估计10＋1的值是（）（A）在2和3之间（B）在3和4之间（C）在4和5之间（D）在5和6之间2．比较大小：①21-51；②3（填“>”、“<”）5、利用数形结合解题：例1 实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a+b|+2)(ab-的结果是（）A、2bB、2aC、－2aD、－2b例2 如图，数轴上表示1、2的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（）A、2－1B、1－2C、2－2D、2－2例3 若实数a，b，c在数轴上的位置如图，化简：a b c a b c a---+--．练习：1.如果有理数a、b、ca b b c++可以化简为( )A．2c－a B．2a－2b C．－a D．a2．如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，其中AB＝BC，如果a b c>>，那么该数轴的原点O的位置应该在( )A．点A的左边B．点A与点B之间C．点B与点C之间D．点B与点C之间或点C的右边CA6、实数的计算例1.计算：①6(61-6) ②1-2-2-32-3+练习：（1；（2）3π-1 2例2、解方程（x+1）2=36.练习：（1）9)1(2=-x （2）251513=+）（x（3）8x 3－27＝0；（4）(x －1)2－121＝0．（三）【常见错误诊断】1、混淆平方根和算术平方根：①由-3是9的平方根得：9=-3。

②由81的平方根是±9得81=±9 ③5-是5的平方根的相反数 2、混淆文字表示和符号表示：①16的算术平方根是4； ②64的立方根是4 3、概念理解不透彻：（1）平方根、算术平方根的概念不清：①6是6的平方根；②6的平方根是6；③6与6-互为相反数；④a________；________； ③25的算数平方根是________； ④5的算数平方根是________； ⑤9的平方根是________；⑥(－1)2的算数平方根是________；的算数平方根是________；⑧－8的立方根是________．（2）无理数的概念不清：①开方开不尽的数是无理数； ②无理数就是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④无限小数是无理数；⑤无理数包括正无理数、零、负无理数；⑦两个无理数的和还是无理数；⑧两个无理数的积还是无理数；填空：在-1.414，2，π， 3.41 ，2+3，3.212212221…，722，23，0.303003.这些数中，无理数的个数有 个；4、计算错误：①2)13(-=13-；②1251144251=③2095141251161=+=+④若x 2=16，则x=16=4. 5、确定取值范围错误（漏解或考虑不全面）①若代数式21--x x 有意义，则x 的取值范围是21≠>x x 且 ②若代数式21--x x 有意义，则x 的取值范围是2≥x6、公式用错：①66-2-=）（；②2-14.3）（∏=3.14-π；②若c 满足)3(32+-=+c c ）（，则c =-3（四）【巩固练习】1．的平方根（ ）364.8.±A B. 8 C. 2± D.22．如果25.0=y ，那么y 的值是（ ）A. 0.0625B. —0.5C. 0.5 D .±0.53．下列说法中正确的是（ ）A.81的平方根是±3B.1的立方根是±1C.1=±1D.5-是5的平方根的相反数 4a =-，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ）A ．原点左侧B ．原点右侧C ．原点或原点左侧D ．原点或原点右侧 5．若a =3.136，则100a=（ ） A 、0.03136 B 、0.3136 C 、±0.03136 D 、±0.31366．数a 、b 在数轴上的位置如图，那么化简2a a b --的结果是（ ）A ．b a -2B ．bC ．b -D ．b a +-2 7．下列说法正确的是（ ）A. 0.25是0.5 的一个平方根 B .正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0C . 7 2的平方根是7 D. 负数有一个平方根 8．若a a =-2)3(-3，则a 的取值范围是( ).A. a ＞3B. a ≥3C. a ＜3D. a ≤39．若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为（ ） A ．2 B ．0 C ．－2 D ．以上都不对 10. 在227，3.14159260.1这6个数中，无理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是 。

12．若2b +和5的立方根，则334b a +=.13．观察下列各式：==，……，根据你发现的规律，若式子=a 、b＝ . 14．由下列等式：33722722=，3326332633=，3363446344=……所揭示的规律，可得出一般的结论是 （用字母n 表示，n 是正整数且n >1）。

1512 ②215- 0.5；16．一个正方形的面积变为原来的m 倍，则边长变为原来的倍；一个立方体的体积变为原来的n倍，则棱长变为原来的 倍。

17．计算：①41|2-13-18．已知一个2a -1的立方根是3，3a +b +5的平方根是±7，c 是13的整数部分，求22c b a -+的平方根。

19．已知a 、b 满足0382=-++b a ，解关于x 的方程()122-=++a b x a20．若5=a，72=b ，a b b a -=-，求a+b 的值21. 设的整数部分和小数部分分别是x 、y ，求（x -1）2+(6-y +8)2的平方根。

22．已知点A 、B 在数轴上对应的数分别是a 、b ，且a 、b 满足52221+---=a a b ，点C 是数轴上不同于A 、B 的一动点，其对应的数为c 。

（1）若C 运动到使AB=BC 时，求点C 所对应的数；（2）若c 满足)3(32+-=+c c ）（，试化简：33222)()(c c b c a c ++--+（3）当C 运动某一位置时，实数c 满足c c c =-+5-3，试求线段BC 的长.。