专题五： 排列、组合、二项式定理、概率与统计【考点分析】1． 突出运算能力的考查。

高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。

2． 有关排列、组合的综合应用问题。

这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两 3． 个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。

4． 有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。

这种问题重点考查运算能力，特别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。

5． 有关概率的实际应用问题。

这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。

6． 有关统计的实际应用问题。

这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。

【疑难点拨】 1． 知识体系：2．知识重点：（1） 分类计数原理与分步计数原理。

它是本章知识的灵魂和核心，贯穿于本章的始终。

（2） 排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。

排列数公式的推导过程就是位置分析法的应用，而组合数公式的推导过程则对应着先选（元素）后排（顺序）这一通法。

（3） 二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。

二项式定理的推导过程体现了二项式定理的实质，反映了两个基本计数原理及组合思想的具体应用，二项展开式系数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法——赋值法（令1±=x ）的应用。

（4） 等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式，相互独立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概率公式。

互斥事件的概率加法公式对应着分类相加计数原理的应用，相互独立事件的概率乘法公式对应着分步相乘计数原理的应用。

（5） （理科）离散型随机变量的定义，离散型随机变量的分布列、期望和方差。

（6） 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，总体分布，正态分布，线性回归。

2． 知识难点：(1) 排列、组合的综合应用问题。

突破此难点的关键在于：在基本思想上强调两个基本原理（分类相加计数原理和分步相乘计数原理）在本章知识中的核心地位；在通法上要求，首先要认真审题，分清是排列（有序）还是组合（无序），或二者兼而有之；其次要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原理进行“分类与分步”，分类时要不重不漏，分步时要独立连续。

在两个公式的应用中要深刻理解其定义中的“所有”的含义，特别是组合数“mnC ”已包含了m 个元素“所有”可能的组合的个数，故在平均分堆过程中就会产生重复，而平均分配给不同的对象过程中就不用再排序。

同时在本节中要注意强调转化化归数学思想的应用。

(2) 二项式定理的计算。

突破此难点的关键在于：熟记指数的运算法则和二项展开式的通项公式，深刻理解“第k 项”“常数项”“有理项”“二项式系数”“系数”等基本概念的区别与联系。

(3) 概率、分布列、期望和方差的计算。

突破此难点的关键在于：首先要运用两个基本原理认真审题，弄清楚问题属于四种类型事件中的哪一种，然后准确地运用相应的公式进行计算，其中要注意排列、组合知识的应用。

（理科）对于分布列要熟记一个基本型（ζ）和三个特殊型（b a +=ζη，二项分布，几何分布）的定义和有关公式；此类问题解题思维的的流程是：要求期望，则必先求分布列，而求分布列的难点在于求概率，求概率的关键在于要真正弄清每一个随机变量“k =ζ”所对应的具体随机试验的结果。

【经典题例】例1：将8名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方法共有多少种？[思路分析] 根据宿舍的人数，可分为三类：“62+”型不同的分配方法有2228A C 种；“53+”型不同的分配方法有2238A C 种；“44+”型不同的分配方法有48C 种。

则由加法原理得，不同的分配方法共有2384822382228=++C A C A C 种。

[小结] 本题体现了“先选后排”通法的应用，属于排列组合混合问题。

要注意（不）平均分配与（不）平均分堆的联系与区别。

例2：在正方形ABCD 中，H G F E ,,,分别为各边的中点，O 为正方形中心，在此图中的九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有多少个？[思路分析] 根据三角形的类型分为三类：直角三角形有DAB Rt DAE Rt HAE Rt ∆∆∆,,共3种；以边AB 为底的三角形GAB OAB ∆∆,共2种；过中点和中心的三角形有,,HGB DGB GBO ∆∆∆ 共3种。

由加法原理得，共有3238++=种不同类型的三角形。

[小结] 本题体现了“转化化归数学思想”的应用，属于排列组合中的几何问题，在具体方法上是运用了“穷举法（将所有的情形全部列出）”。

例3：在多项式65(1)(1)x x +-的展开式中，含3x 项的系数为多少？[思路分析]解1 652323(1)(1)(161520)(151010)x x x x x x x x +-=++++-+-+L L ，所以含3x 项的系数为 1060515205-+-⨯+=-。

解2 6525122455(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x C x C x x +-=-+=-+-+L ，所以含3x 项的系数为1515C -⋅=-。

解3 由组合原理03312221130065656565(1)(1)(1)(1)5C C C C C C C C -+-+-+-=-。

[小结] 本题重点考查对二项式定理的本质的理解和运算能力。

例4：从数字0,1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于6的概率为多少？[思路分析] 本题的基本事件是由6个不同的数字允许重复而且含0的条件下组成三位数，根据乘法原理可知基本事件的全体共有566180⨯⨯=个。

设三个数字之和等于6的事件为A ，则A 分为六类：数码(5,1,0)组成不同的三位数有2122A C个；数码(4,2,0)组成不同的三位数有2122A C 个；数码(4,1,1)组成不同的三位数有13C个；数码(3,3,0)组成不同的三位数有12C 个；数码(3,2,1)组成不同的三位数有33A个；数码(2,2,2)组成不同的三位数有1个，根据加法原理，事件A 共有21211132222323120A C A C C C A +++++=个。

故201()1809P A ==。

[小结] 本题考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，重点在于利用排列组合知识求各个基本事件的总数。

例5：若1002100012100(12)(1)(1)(1),,1,2,3,,i x e e x e x e x e R i +=+-+-++-∈=L L 则012100e e e e ++++=L ，012100e e e e ++++=L 。

[思路分析] 将条件等式的左右两边比较，可知变形[]100100(12)3(2)(1)x x +=+--。

利用赋值法，令(1)1x -=，则有100012100(321)1e e e e ++++=-⨯=L ；令(1)1x -=-，则有[]1001001210032(1)5e e e e ++++=-⨯-=L 。

[小结] 本题考查二项展开式系数的性质，在具体方法上是运用了通法“赋值法”。

例6：从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的不同四位数共有 个。

[思路分析] 由已知，此四位数的末位只能是0或5，且0不能在首位，故0,5为特殊元素，而且二者中至少要选一个。

根据题意，可分三类：有5无0，不同的四位数有123343C C A个；有0无5，不同的四位数有213343C C A个；0,5同时存在，当0在末位时，不同的四位数有113343C C A 个，当5在末位时，不同的四位数有11123422C C C A个。

所以满足条件的不同的四位数共有1232131131234334334322()300C C A C C A C C A C A +++=个。

[小结] 本题考查有两个受条件限制的特殊元素的排列组合混合问题，基本解题模型为：分为三类。

第一类，两个中一个都不考虑；第二类，两个中考虑一个；第三类，两个都考虑。

注意在具体求解中其中“先选后排”“位置分析法”等通法的运用。

例7：鱼塘中共有N 条鱼，从中捕得t 条，加上标志后立即放回塘中，经过一段时间，再从塘中捕出n 条鱼，发现其中有s 条标志鱼。

（1）问其中有s 条标志鱼的概率是多少？（2）由此可推测塘中共有多少条鱼（即用,,t n s 表示N ）？[思路分析] （1）由题意可知，基本事件总数为n NC 。

鱼塘中的鱼分为两类：有标志的鱼t条，无标志的鱼()N t -条，从而在捕出n 条鱼中，有标志的s 条鱼有st C种可能，同时无标志的()n s -条鱼有n s N t C --种可能，则捕出n 条鱼中有s 条鱼共有s n s t N t C C --种可能。

所以概率为s n st N tnN C C C --。

（2）由分层抽样可知，,s n nt N t N s =∴=（条）。

[小结] 本题考查等可能性事件的概率和统计知识，重点要注意“鱼”的不同的分类以及抽样方法中各个元素被抽取概率的相等性。

例8：某宾馆有6间客房，现要安排4位旅游者，每人可以进住任意一个房间，且进住各房间是等可能的，求下列事件各的概率：（1）事件A ：指定的4个房间各有1人；（2）事件B ：恰有4个房间各有1人；（3）事件C ：指定的某房间中有2人；（4）事件D ：一号房间有1人，二号房间有2人；（5）事件E ：至少有2人在同一个房间。

[思路分析] 由于每人可以进住任一房间，进住哪一个房间都有6种等可能的方法，根据乘法原理，4个人进住6个房间有46种方法，则（1）指定的4个房间中各有1人有44A 种方法，4441()654A P A ==。

（2）恰有4个房间各有1人有4464C A 种方法，446445()618C A P B ==。

（3）从4人中选2人的方法有24C 种，余下的2人每人都可以去另外的5个房间中的任一间，有25种方法，2244525()6216C P C ⋅==。