双曲线及抛物线（讲义）知识点睛一、双曲线1. 双曲线的标准方程我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．设()M x y ，是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2(0)c c >， 那么焦点1F ，2F 的坐标分别为(0)c -，，(0)c ，． 又设M 与1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数2a ．12{|||||||2}P M MF MFa =-=．因为12|| ||MF MF ==所以2a =±． ①类比建立椭圆标准方程的化简过程，化简①，得22222222()()c a x a y a c a --=-，两边同除以222()a c a -，得222221x y a c a-=-． 由双曲线的定义可知，22220c a c a c a >>->，即，所以．类比椭圆标准方程的建立过程，我们令222c a b -=，其中0b >，代入上式，得22221(00)x y a b a b-=>>，． 双曲线的标准方程：22221(0 0)x y a b a b，-=>>．2.双曲线的几何性质R R对称轴二、抛物线1.抛物线的标准方程我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．设||(0)KF p p =>，那么焦点F 的坐标为(0)2p ，，准线l 的方程为2px =-．设()M x y ，d ． 由抛物线的定义，抛物线就是点的集合{|||}P M MF d==．因为||||2pMF d x ==+，所以||2px =+．将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>．抛物线的标准方程：22(0)y px p =>．2. 抛物线的几何性质1.写出适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，4a=，3b=；（2）焦点在x轴上，经过点(，3；（3）焦点为(06)-，，(06)，，且经过点(25)-，．2.双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，与2222(0)x ya bλλ-=≠有相同的（）A．实轴B．焦点C．渐近线D．以上都不对3.已知双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，的一条渐近线方程是y=，它的一个焦点在直线6x=-上，则双曲线的方程为（）A．22136108x y-=B．221927x y-=C．22110836x y-=D．221279x y-=4.若双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，）A．2y x=±B．y=C．12y x=±D．2y x=±5. 已知F 为双曲线C ：221916x y -=的左焦点，P ，Q 为C 上的点． 若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5 0)A ，在线段PQ 上， 则△PQF 的周长为__________．6. 已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，若(1 4)A ，，则||||PF PA +的最小值是__________．7. 如图，1F ，2F 是椭圆221 +14x C y =：与双曲线2C 的公共焦点， 点A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ） ABC ．32D8. 如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 外一个定点，P 是圆上任意一点．线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？9.点()M x y，到定点(5 0)F，的距离和它到定直线l：165x=的距离之比是常数54，求点M的轨迹方程．10.已知双曲线2212yx-=，过点(11)P，能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？如果能，求出直线l的方程；如果不能，请说明理由．11. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）关于x 轴对称，并且经过点(5 4)M -，； （2）准线方程是4x =； （3）焦点是(0 8)F -，；（4）对称轴是x 轴，且顶点与焦点的距离等于6．12. 如图，M 是抛物线212y x =上一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM为终边的角∠xFM =60°，则||FM =__________．13. 如图，已知直线1 4360l x y --=：和直线2 1l x =：，抛物线 24y x =-上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） AB ．2C ．115D ．314. 如图，斜率为1的直线l 经过抛物线为24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．15. 如图，过抛物线28y x =-的焦点F 的直线l 交该抛物线于A ，B 两点，若||6AF =，求BF 的长．16.如图，已知直线l与抛物线22(0)=>交于A，B两点，且OA⊥OB，ODy px p⊥AB交AB于点D，若点D的坐标为(2 1)，，求p的值．回顾与思考________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________【参考答案】 知识点睛一、x 轴、y 轴原点 2a 2b 2c by x a=±ay x b=±(1)+∞， 22a b + 二、x 轴y 轴2px =-2p x = 2p y =- 2p y =精讲精练1．（1）221169x y -=；（2）2213y x -=；（3）2212016y x -=2．C 3．B 4．B 5．44 6．97．D8．点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，以r 为实轴长的双曲线9．点M 的轨迹方程是221169x y -=10．不存在满足条件的直线l11．（1）2165y x =；（2）216y x =-；（3）232x y =-；（4）224y x =±12．1213．B14．815．||3BF =16．54p =双曲线及抛物线（随堂测试）1. F 1，F 2为双曲线2214x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2的面积是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．162. 若双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线22y bx =的焦点分成长度之比为7:5的两部分，则此双曲线的离心率为__________．3. 已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，有一点A (3，2)，则|P A |+|PF |取最小值时点P 的坐标为 __________．【参考答案】1．B 23．(22)，双曲线及抛物线（作业）例1： 已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ） A． B． C ．3 D ．5【思路分析】先求出抛物线的焦点坐标，代入求出双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解． 【过程示范】∵抛物线212y x =的焦点坐标为(30)，，∴双曲线22214x y b-=的右焦点坐标为(30)，，即c =3，∴249b +=，即b =∴双曲线的渐近线方程为2y x =±20y ±=，∴双曲线的焦点到其渐近线的距离d ==A ．例2： 如图，1F ，2F 是双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，过点1F 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ）C ．2 D【思路分析】利用三角形的边长比例关系，研究三角形的性质，再结合双曲线的定义，求出实轴长与焦距的比例关系．设||3AB t =，则2||4BF t =，2||5AF t =，可得△2ABF 是以B 为直角顶点的直角三角形；根据双曲线的定义，得2112||||||||AF AF BF BF -=-， 根据11||||||BF AB AF =+，得115||||34t AF AF t t -=+-，解得1||3AF t =，∴21||||22AF AF t a -==，即a t =， ∵∠1290F BF =︒，∴12||F F ==，即c =，∴离心率ce a==A ． 例3： 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 且垂直于对称轴的直线交抛物线于A ，B两点，若线段AB 的长为8，则p 的值为__________． 【思路分析】利用抛物线的几何定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离． 【过程示范】 如图所示：∵AB ⊥OF ，||8AB =， ∴||4AF =，∴点A 到准线2px =-的距离4d =， ∵点A 到准线2px =-的距离为p ，∴4p =．17. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，a =(52)A -，； （2）焦距为230x y ±=．18.倍，且一个顶点的坐标为(0 2)，，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22144x y -= B ．22144y x -=C ．22148y x -=D ．22184x y -=19. 过点(22)-，且与2212xy -=有公共渐近线的双曲线的方程是（ ）A ．22124y x -=B ．22142x y -= C ．22142y x -=D ．22124x y -=20. 双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离为（ ）A ．25B ．45C．5D．521. 设1F ，2F 是双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若在C 上存在一点P ，使212PF F F ⊥，且1230PF F ∠=︒，则 C 的离心率为__________．22. 已知点P 为双曲线221916x y -=右支上的一点，M ，N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则||||PM PN -的最大值为__________．23. 如图，1F ，2F 是双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△2ABF 是等边三角形，则双曲线C 的离心率为__________．24. 若直线1y kx =-与双曲线224x y -=没有公共点，则k 的取值范围是__________．25. 点(53)M ，到抛物线2y ax =的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ） A ．212x y =B ．2112x y =或2136x y =- C ．236x y =-D ．212x y =或236x y =-26. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．427. 已知点M 为抛物线22y x =上的一个动点，则点M 到点(02)，的距离与点M 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）AB ．3 CD ．9228. 已知直线l 与抛物线28y x =交于A ，B 两点，且直线l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8，8)，求线段AB 的中点到准线的距离．29. 如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若||2||BC BF =，||3AF =，求此抛物线的方程．【参考答案】1．（1）2212016x y-=；（2）22194x y-=或22194y x-=2．B3．A4．C56．978．k<k>9．D10．C11．A12．25 413．23y x=。