习题九1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为πππ,,343αβγ===的方向导数。

解：(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)cos cos cos u u u uy l x z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππcoscos cos 5.(2)()(3)343xy xz y yz z xy =++=---2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。

解：{4,3,12},13.AB AB == u u u r u u u rAB u u u r的方向余弦为4312cos ,cos ,cos 131313αβγ=== (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105uyz x uxz y uxy z ∂==∂∂==∂∂==∂故4312982105.13131313u l∂=⨯+⨯+⨯=∂ 3. 求函数22221x y z a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点处沿曲线22221x y a b +=在这点的内法线方向的方向导数。

解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为2222220,x y b x y y a b a y ''+==-所以在点处切线斜率为2.b y a a '==-法线斜率为cos a b ϕ=.于是tan sin ϕϕ== ∵2222,,z z x y x a y b ∂∂=-=-∂∂∴2222z l a b⎛∂=--=∂⎝4.研究下列函数的极值： (1)z =x 3+y 3－3(x 2+y 2); (2)z =e 2x(x +y 2+2y );(3)z =(6x －x 2)(4y －y 2); (4)z =(x 2+y 2)22()exy -+;(5)z =xy (a －x －y ),a ≠0.解：（1）解方程组22360360x yz x x z y y ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).z xx =6x －6, z xy =0, z yy =6y －6在点（0，0）处，A =－6，B =0，C =-6，B 2－AC =－36<0，且A <0,所以函数有极大值z (0,0)=0. 在点（0，2）处，A =－6，B =0，C =6，B 2－AC =36>0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A =6，B =0，C =－6，B 2－AC =36>0，所以(2,0)点不是极值点.在点（2，2）处，A =6，B =0，C =6，B 2－AC =－36<0，且A >0,所以函数有极小值z (2,2)=-8.(2)解方程组222e (2241)02e (1)0x x x y z x y y z y ⎧=+++=⎪⎨=+=⎪⎩得驻点为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭. 22224e (21)4e (1)2e x xx x xy xyy z x y y z y z =+++=+=在点1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭处,A =2e,B =0,C =2e,B 2-AC =-4e 2<0,又A >0,所以函数有极小值e 1,122z ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. (3) 解方程组22(62)(4)0(6)(42)0x yz x y y z x x y ⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Z xx =－2(4y -y 2),Z xy =4(3－x )(2－y )Z yy =－2(6x －x 2)在点（3，2）处，A =－8，B =0，C =－18，B 2－AC =－8×18<0,且A <0，所以函数有极大值z (3,2)=36. 在点（0，0）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,0)点不是极值点. 在点（0，4）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,4)不是极值点. 在点（6，0）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,0)不是极值点. 在点（6，4）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,4)不是极值点.(4)解方程组2222()22()222e (1)02e (1)0x y x y x x y y x y -+-+⎧--=⎪⎨--=⎪⎩ 得驻点P 0(0,0),及P (x 0,y 0),其中x 02+y 02=1，在点P 0处有z =0，而当（x ,y ）≠(0,0)时，恒有z >0， 故函数z 在点P 0处取得极小值z =0. 再讨论函数z =u e-u由d e (1)d u z u u -=-，令d 0d z u =得u =1,当u >1时，d 0d z u <；当u <1时，d 0d zu >,由此可知，在满足x 02+y 02=1的点（x 0,y 0）的邻域内，不论是x 2+y 2>1或x 2+y 2<1,均有2222()1()e e x y z x y -+-=+≤.故函数z 在点（x 0,y 0）取得极大值z =e -1(5)解方程组(2)0(2)0x y z y a x y z x a y x =--=⎧⎨=--=⎪⎩得驻点为12(0,0),,33a a P P ⎛⎫⎪⎝⎭ z xx =-2y , z xy =a -2x -2y , z yy =-2x .故z 的黑塞矩阵为222222ya x y H a x y x ---⎡⎤=⎢⎥---⎣⎦ 于是122033(),().0233aa a H P H P a aa ⎡⎤--⎢⎥⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ 易知H （P 1）不定，故P 1不是z 的极值点，H （P 2）当a <0时正定，故此时P 2是z 的极小值点，且3,2733a a a z ⎛⎫=⎪⎝⎭,H （P 2）当a >0时负定，故此时P 2是z 的极大值点，且3,2733a a a z ⎛⎫=⎪⎝⎭.5. 设2x 2+2y 2+z 2+8xz -z +8=0，确定函数z =z (x ,y )，研究其极值。

解：由已知方程分别对x ,y 求导，解得484,281281z x z z yx z x y z x ∂--∂-==∂+-∂+-令0,0,z z x y ∂∂==∂∂解得0,2x y z ==-, 将它们代入原方程，解得162,7x x =-=.从而得驻点16(2,0),,07⎛⎫- ⎪⎝⎭. 22222222(281)(48)4828(281)428,(281)4(281)8.(281)z z z x x z z x x x z x z y z x x y z x z z x z yy z x ∂∂⎛⎫⎛⎫+-++--+ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭=∂+-∂⎛⎫+ ⎪∂∂⎝⎭=∂∂++∂-+--∂∂=∂+-在点（-2，0）处，441,,0,,1515Z A B C ====B 2-AC <0，因此函数有极小值z =1. 在点16,07⎛⎫ ⎪⎝⎭处，82828,,0,,7105105Z A B C =-=-==-B 2-AC <0，函数有极大值87z =-. 6. 在平面xOy 上求一点，使它到x =0,y =0及x +2y -16=0三直线距离的平方之和为最小。

解：设所求点为P (x ,y )，P 点到x =0的距离为|x |,到y =0的距离为|y |，到直线x +2y -16=0的距离为=距离的平方和为2221(216)5z x y x y =+++-由22(216)0542(216)05zx x y x zy x y y ∂⎧=++-=⎪∂⎪⎨∂⎪=++-=∂⎪⎩得唯一驻点816,55⎛⎫⎪⎝⎭,因实际问题存在最小值，故点816,55⎛⎫⎪⎝⎭即为所求。

7. 求旋转抛物面z=x2+y2与平面x+y-z=1之间的最短距离。

解：设P（x,y,z）为抛物面上任一点.则点P到平面的距离的平方为2(1)3x y zd+--=,即求其在条件z= x2+y2下的最值。

设F（x,y,z）=222 (1)() 3x y zz x yλ+--+--解方程组222(1)2032(1)2032(1)3xyzx y zF xx y zF yx y zFz x yλλλ+--⎧=-=⎪⎪+--⎪=-=⎪⎨⎪-+--=+=⎪⎪⎪=+⎩得12 x y z===故所求最短距离为16 ==8. 抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。

解：设椭圆上的点为P（x,y,z），则|OP|2=x2+y2+z2.因P点在抛物面及平面上，所以约束条件为z=x2+y2，x+y+z=1设F（x,y,z）= x2+y2+z2+λ1(z-x2-y2)+λ2(x+y+z-1)解方程组12121222220220201xyzF x xF y yF zz x yx y zλλλλλλ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=+⎪⎪++=⎩得2 x y z===由题意知，距离|OP|有最大值和最小值，且(2222212922x y z OP ⎛-=++=+= ⎝⎭m .9. 在第I 卦限内作椭球面2222221x y z a b c ++=的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。

解：令222222(,,)1x y z F x y z a b c =++- ∵222222,,,x y z x y zF F F a b c ===∴椭球面上任一点0000(,,)P x y z 的切平面方程为000000222222()()()0.x y z x x y y z z a b c -+-+-=即 000222 1.x x y y z za b c ++=切平面在三个坐标轴上的截距分别为222000,,a b c x y z ，因此切平面与三个坐标面所围的四面体的体积为222222000000166a b c a b c V x y z x y z =⋅⋅⋅=即求2226a b c V xyz =在约束条件2222221x y z a b c ++=下的最小值，也即求xyz 的最大值问题。

设222222(,,)1x y z x y z xyz a b c λ⎛⎫Φ=+++- ⎪⎝⎭, 解方程组22222222220,20,20,1.xy z x yz a x xz b x xy c x y z a b c λλλ⎧Φ=+=⎪⎪⎪Φ=+=⎪⎨⎪Φ=+=⎪⎪⎪++=⎩得x y z ===.故切点为，此时最小体积为222.26a b cV abca b c==*10. 设空间有n个点，坐标为(,,)(1,2,,)i i ix y z i n=L,试在xOy面上找一点，使此点与这n个点的距离的平方和最小。