第三章 不等式一、选择题.1. 若 a ∈R ，则下列不等式恒成立的是( )． A. a 2 + 1＞aB.112+a ＜1 C. a 2 + 9＞6a D. lg (a 2 + 1)＞lg|2a |2. 下列函数中，最小值为 2 是( )． A. y =xx 55+，x ∈R ，且 x ≠0 B. y = lg x +xlg 1，1＜x ＜10 C. y = 3x + 3-x ，x ∈R D. y = sin x +xsin 1，2π0＜＜x3. 不等式组3020x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域的面积等于( )．A. 28B. 16C.439 D. 1214. 不等式 lg x 2＜lg 2x 的解集是( )． A. ⎪⎭⎫⎝⎛11001， B. (100，＋∞)C. ⎪⎭⎫⎝⎛11001，∪(100，＋∞) D. (0，1)∪(100，＋∞)5. 不等式(x 4 - 4)-(x 2 - 2)≥0 的解集是( )．A. x ≥2或 x ≤-2B. -2≤x ≤2C. x ＜-3或 x ＞3D. -2＜x ＜26. 若 x ，y ∈R ，且 x + y = 5，则 3x + 3y 的最小值是( )． A. 10B.C.D.7. 若 x ＞0，y ＞0，且 281x y+=，则 xy 有( )． A. 最大值 64B. 最小值164C. 最小值12D. 最小值 648. 若221x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数 z = 2x + y 的取值范围是( )．A. [0，6]B. [2，4]C. [3，6]D. [0，5]9. 若不等式 ax 2 + bx + c ＞0 的解是 0＜α＜x ＜β，则不等式 cx 2 - bx + a ＞0 的解为( )． A. α1＜x ＜β1B. -β1＜x ＜-α1C. -α1＜x ＜-β1D.β1＜x ＜α1 10. 若 a ＞0，b ＞0 ，且 1a b +=，则⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111122b a 的最小值是( )．A. 9B. 8C.7D. 6二、填空题. 1. 函数 264y x=-的定义域是 ．2. 若 x ，y 满足 ，则x y的最大值为_____ __，最小值为____ __．3. 函数 21y x x =-的最大值为 ．4. 若直角三角形斜边长是 1，则其内切圆半径的最大值是 ．5. 若集合 A = {(x ，y )| |x | + |y |≤1}，B = {(x ，y )|(y - x )(y + x )≤0}，M = A ∩B ，则 M 的面积为___________．6. 若不等式 2x - 1＞m (x 2 - 1)对满足 -2≤m ≤2 的所有 m 都成立，则 x 的取值范围是 ． 三、解答题．1. 若奇函数 f (x )在其定义域(-2，2)上是减函数，且 f (1 - a )+ f (1 - a 2)＜0，求实数 a 的取值范围．2. 已知 a ＞b ＞0，求216()a b a b +-的最小值．(选)3. 设实数 x ，y 满足不等式组 ．（1）作出点(x ，y )所在的平面区域；（2）设 a ＞-1，在（1）所求的区域内，求f (x ，y )= y – ax 的最大值和最小值．4. 某工厂拟建一座平面图形为矩形，且面积为 200 m 2 的三级污水处理池（平面图如右）. 如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不计. 试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．x + 2y - 5≤0x ≥1 y ≥0x + 2y - 3≥01≤x + y ≤4y + 2≥|2x - 3|参考答案一、选择题． 1. A【解析】A ：a 2 - a + 1 = a 2 - a +4341+=221⎪⎭⎫ ⎝⎛-a +43＞0. a 2 + 1＞a 恒成立．B ：当 a = 0 时，左 = 右．C ：当 a = 3 时，左 = 右．D ：当 a = ±1 时，左 = 右． 2. C【解析】A ：y 没有最小值． B ：∵ 1＜x ＜10， ∴ 0＜lg x ＜1． ∴ y ≥2．lg x =1，即x =10时，y min = 2． 此时不符合1＜x ＜10． C ：∵ 3x ＞0， ∴ y = 3x +x31≥2． x = 0时，y min = 2． D ：∵ 0＜x ＜2π， ∴ sin x ＞0． ∴ y ≥2． 当 sin x =xsin 1时，此时 sin x = 1，x =2π，不符合 0＜x ＜2π．3. B【解析】由不等式组，画出符合条件的平面区域（下图阴影部分）. 解两两直线方程组成的方程组，可得 A (3，5)，B (3，-3)， C (-1，1)． ∴ S 阴 =21· |AB | · |x A - x c | = 21×8×4 = 16． 4. Dx 2＞0，【解析】∵∴ x ＞0．∵ lg x 2＜lg 2x ，∴ lg 2x - 2lg x ＞0．∴ lg x ＞2 ，或 lg x ＜0，∴ x ＞100 ，或 0＜x ＜1．5. A【解析】∵（x 4 - 4）-（x 2 - 2）≥ 0，∴ x 4 - x 2 - 2≥0，∴（x 2 - 2）（x 2 + 1）≥0.∴ x 2≥2． ∴ x ≥2，或 x ≤-2． 6. D【解析】 3x + 3y ≥2y x 33⋅= 2y x +3， ∴ 3x + 3y ≥2×9×3= 183，当 x = y = 25时，等号成立． 7. D【解析】 y x 82+≥2y x 82⋅= 8xy 1，当y x 82=，即 时，8xy 1取最大值，即 xy 取最小值 64． 8. A【解析】 据不等式组画出可行域． 易知 A (-1，2)，B (2，2)．将 y = -2x 进行平移，当直线过 A 点时，z min = 0， 当直线过 B 点时，z max = 6． 9. C【解析】由题知， 且 a ＜0.∴ b = -a (α + β )， c = a (αβ )．∴ 所求不等式可代为 a (αβ )x 2 + a (α + β )x + a ＞0． ∴(αβ )x 2 +(α + β )x + 1＜0． ∴(αx + 1)(βx + 1)＜0． ∵ 0＜α＜β， ∴ -α1＜-β1．x = 4，y = 16α + β = ab-α β = a c∴ -α1＜x ＜-β1．10. A【解析】 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111122b a =22221b a ba --+ 1 =22222)(b a b a b a --++ 1 =ab 2+1≥222⎪⎭⎫⎝⎛+b a + 1 = 9．∴ 当 a = b=21时，原式取最小值 9．二、填空题． 1. （-8，8）．【解析】∵ 64 - x 2＞0 ∴ x 2＜64，-8＜x ＜8，即(-8，8)． 2. 2，0.【解析】 据不等式组画出可行域．由图可知，2max =⎪⎭⎫⎝⎛x y ，=⎪⎭⎫⎝⎛m inx y 0． 3.21． 【解析】设 x = cos θ，θ∈[0，π]． ∴ y = cos θ sin θ=21sin 2θ． ∵ θ∈[0，π]，∴ 2θ∈[0，2π]， ∴ y max =21，此时 θ =4π，x = cos 4π=22．4.21-． 【解析】如图，r =21-+b a =212-+b a ≤21222-+b a =2122-=212-. 当且仅当 a = b = 22时， r max =212-． 5. 1．【解析】如图，M 为阴影部分. M 的面积为()2221⨯= 1．6.271+-＜x ＜231+． 【解析】令 f (m )= m (x 2 - 1)-(2x - 1)(x ≠±1)，把它看作关于 m 的一次函数． 由于 -2≤m ≤2 时，f (m )＜0 恒成立，x 2 - 1＞0 x 2 - 1＜0 ∴ 或f （2）＜0 f （-2）＜0解得 1＜x ＜231+，或271+-＜x ＜1，又x = 1 时，亦符合题意．∴271+-＜x ＜231+． 三、解答题．1. 由f (1 - a )+ f (1 - a 2)＜0，得 f (1 - a )＜- f (1 - a 2). 又因为函数f （x ）为奇函数，所以- f (1 - a 2) = f (a 2 - 1)． ∴ f (1 - a )＜ f (a 2 - 1). 又∵ 函数 f (x ) 在其定义域(-2，2)上是减函数，1 - a ＞a2 – 1 -2＜a ＜1 ∴ -2＜1 - a ＜2 解得 -1＜a ＜3-2＜a 2 - 1＜2 -3＜a ＜3∴ a ∈（-1，1）．2. 由 a ＞b ＞0 知，a - b ＞0， ∴ b （a - b ）≤4222a b a b =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+． ∴ a 2 +)(16b a b -≥a 2 +264a≥22264a a ⋅= 16．当且仅当 a 2 =264a，b = a - b ， 即当 a = 22，b =2时，a 2 +)(16b a b -取得最小值 16．3. （1）（-3，7） 【解析】（2） 最大值为7+3a ，最小值为4. 【解】设污水池总造价为 y 元，污水池长为 x m. 则宽为x 200m ，水池外圈周壁长2x + 2 · x200（m ），中间隔墙长2 ·x200（m ），池底面积200（m 2）． ∴ y = 400⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅x x 20022+ 248 · x 200 · 2 + 80×200 = 800⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 324+ 16 000 ≥1 600xx 324⋅+ 16 000 = 44 800． 当且仅当 x =x 324，即 x = 18，x 200=9100时，y min = 44 800．答：当污水池长为 18 m ，宽为9100m 时，总造价最低，最低为 44 800元．- 1- 2a , -1＜a ≤2 1 - 3a , a ＞2。