八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展 (学生版)•、基本公式1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 22例：计算 1999 -2000 X 199822 22. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b)例：运用公式简便计算3. 完全平方公式a+b(或a-b)、ab 、a 2+b 2这三者任意知道两项就可以求出第三项(a+b)2、(a-b) 2、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项① a 2 b 2 = (a b)2 - 2aba 2b 2 = (a-b) 2+2ab2 2 2 2② (a-b) =(a+b) -4ab(a+b) =(a-b) +4ab(2)完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合2 2 2 2(a+b) + (a-b) =2 (a+b)例1 •已知a b 2 , ab =1，求a 2 b 2的值。

2例 2.已知 a • b = 8 , ab = 2，求(a - b)的值。

例3.已知a - b = 4, ab = 5，求a 2 b 2的值。

2 2例 4 .已知 m +n =7, mn= —18,求 m — mr+ n 的值.例 5 (3)已知：x+2y=7 , xy=6，求(x-2y)2 的值.例6.已知a +丄=5,求(1) a 2+W , (2) (a —丄)2的值.a a a(1)完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项2 2 2=a -2ab+b (1) 1032(2) 19821 1例7.已知x -― =3，求x4■ ~4的值。

x x3=a -b二、公式的灵活运用1. 对公式的基本变用 _ 2 2(1)位置变化，x y -y x =x_y(2 )符号变化，(彳勺片—x j_y 2= x 2-y 22. 整体思想的应用(1 )应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”2 2例1计算(-a +4b )分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时， ______ 就是公式中的a, _____ 就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则 ________ 是公式中的a ,而 _______ 就是公式中的b .(解略)练习 1•计算：5x 23y 25x 2-3y 2练习2•计算： x -y z x -y —z 练习 3.计算：Ixy z m Jlxy- z m 1练习 4.计算：x ■ y -2z x y 6z(2 )应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号 例计算：(-2 x 2-5)(2 x 2-5)分析：本题两个因式中“-5 ”相同，“2x 2”符号相反，因而 ______ 是公式(a +b )( a -b )= a 2-b 2中的a,而 _____ 则是公式中的b .解：原式=(3 )应用整体思想，要善于分组加括号例&解下列各式(1) (2) (3) 已知 a 24b 2=i3, ab=6,求(a^bj ,(a_b j 的值。

已知(a4bj=7,(a_bj/，求 a^b 2, ab 的值。

已知a a_l-ab 的值。

(3)完全平方公式变用 3:几个数的和的平方推广几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。

2 2 2 2(a +b P )=a+b*c +2ab+2bc+2ac公式的证明：(a 命弋j 彳a 杭产了 弋a^b ”2(a 4b )c +c 2=a 22ab b 22ac 2bc c 2-a 2b 2c 22ab 2bc 2ac例.计算 (1) x 2)14. 立方和与立方差公式 (a+b)(a 2-ab+b 2) = a 3+b 33 2 2 2 2 3=a +a b-a b-ab +ab +b2(2)(3m+n-p j3 3(a-b)(a2+ab+b2)= a-b=a 3-a 2b+a 2b-ab 2+ab 2-b 33 3a +b根据原式各项负号的异同 (看前面括号和后面括号哪些项符号相同，哪些项符号相反，般是把相同符号的各项整合在一起形成一个整体， 据此分组）采用添括号合理分组的方法，再应用整体思想例 1.计算：（a_b c_d ）（_a_b_c_d ）例 2 计算（2x +y -z +5）（2 x -y +z +5）.2 2例 4.计算：(a+b + c — d ) +(b + c + d —a)例 5.计算：3x 2y-5z 1 ]-3x 2y-5z -12 2 2 2例 6 计算(a +b +c ) +(a +b - c ) +(a - b +c ) +( b - a +c ).例7.四个连续自然数的乘积加上 1，一定是平方数吗？为什么?3. 公式的逆用』 2 』 2例 1.计算：5a 7b - 8c ]〔5a - 7b 8c例 2 计算(2a+3b)2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b)2(2)例3•计算（1）4. 公式的连用 例 1.计算：x y x_y x 2y 2例2•计算：1 -a a 1 a2 1 a 4 1例3.计算：2 2 2 2(a-1/2) (a +1/4)(a+1/2)5. 创造条件后用公式（1）通过变形，创造条件后用公式1）改变顺序：调整各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显 例1、 运用乘法公式计算：11 1a2（1）怎呻）（-即-3）；（ 2）（x-1/2）（x +1/4）（x+1/2）2）提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。

如（—2m-7n ） （2m-7n ）变为（2m + 7n ） （7n — 2m ）后就可用平方差公式求解了4）项数变化 将某一项（某个数）变形：一分为二，通过创造条件分组。

例 3 计算：（2x — 3y — 1）（ — 2x — 3y + 5）分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符•于是可 创造条件一数：— 1=2— 3, 5=2 + 3,使用公式巧解 例 4.计算：2x 3y 2 2x - 3y • 6又如：(x +3y +2z ) (x — 3y +6z )变为(x +3y +4z — 2z ) (x — 3y +4z +2z )后再适当分组 就例2. 练习：(1) (-1+3x)(-1-3x) ; (2) (-2m-1)(4m +- )(2m —-)变为 2(2n+-442m--)4例4.计算:3）先提公因数（式），再用公式求: (1)可以用乘法公式来解了.5) .先整体展开，再用公式例 5.计算：(a 2b)(a -2b 1)简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。

解：原式=6) 其它变形技巧例6:已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。

求x2-z2的值。

因为x-y=2 , y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x -z = (x+z) (x-z)=14 X 4=56。

常见的变形技巧(2)通过草船借箭后创造条件用公式2 4 8例 1 (3)计算(2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1).分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项( 式，使问题化繁为简.2 4 8解：原式=(2-1)(2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)2 2 4 8=(2 -1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)4 4 8=(2 -1)(2 +1)(2 +1)= (28-1 )( 28+1)16=2 -1例 2.计算：3 (381)(341)(321)(3 1)例3:判断(2+1 ) ( 22+1) (24+1)……(22048+1 ) +1的个位数字是几?(3)乘法公式交替用例试证：(x z)(x2_2xz z2)(x _ z)(x22xz z2) = (x2_ z2)3[(a - 2b) 11，再2-1 )，则可运用公八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展(教师版)•、基本公式1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b22例：计算1999 -2000 X 19982 2 2 2 2 22. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b) =a -2ab+b例：运用公式简便计算(1) 1032 (2) 19822 2 2 2(1) 103弋100七)=100 +2x100x3 七=106092 2 2 2(2) 198 弋200-2)=200_2X200汉2 七=392043. 完全平方公式(1) 完全平方公式变用1:利用已知的两项求第三项a+b(或a-b)、ab、a2+b2这三者任意知道两项就可以求出第三项(a+b)2、(a-b) 2、ab这三者任意知道两项就可以求出第三项①a2 b2= (a b)2- 2ab a2 b2= (a-b) 2+2ab②(a-b) 2=(a+b) 2-4ab (a+b)2=(a-b) 2+4ab(2) 完全平方公式变用2:两个完全平方公式之和的整合2 2 2 2(a+b) + (a-b) =2 (a+b)例1 •已知a b 2 , ab =1，求a2 b2的值。

a2 b2=(a b)2-2ab = 22 -2 1=2例2•已知a • b = 8 , ab = 2，求(a - b)2的值。

(a -b)2= (a b)2 - 4ab =82 -4 2 = 562 2例3.已知a-b=4, ab = 5，求a b的值。

a2+b2=(a_bf+2ab = 42+2P = 26例 4 .已知m+n=7, mn= —18,求m i-mn+ n2的值.2 2 2 2m-mn+ n= (m+n) —3m=7 —3X(—18) =103.例 5 已知：x+2y=7, xy=6，求(x-2y)2的值.(x-2 y) 2=( x+2y) 2-8 xy=72-8 X 6=1 .例 6.已知a+ 1 =5，求(1) a2+ ! , (2) (a- 1) 2的值.a a a答案：(1) 23; (2) 21 .)1 1例7.已知x -丄=3，求x4• J的值。

x x即x2 12-^9x=11即x4 2 =121xAx4— =119x由x 1 x几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。

2 2 2 2a b c a b c 2ab 2bc 2ac22 22公式的证明： a b c L . a b c ^ab 2abcc2 2 22 2 *2=a 2ab b 2ac 2bc c a b c 2ab 2bc 2ac例.计算 (1) (x 2$比 j(2) (3mn-p f4. 立方和与立方差公式(a+b)(a 2-ab+b 2) = a 3+b 3(a-b)(a2+ab+b2)= a 3-b 33 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3=a +a b-a b-ab +ab +b= a -a b+a b-ab +ab -b3.33.3=a +b = a -b二、公式的灵活运用1. 对公式的基本变用 2 2(1)位置变化，x y -y x -x -y(2)符号变化，(彳勺)("-y 片—x y 2= x 2-y 22. 整体思想的应用(1 )应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数” 例 1 计算(-a 2+4b )2分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时， _______ 就是公式中的a, ______ 就是公式中的b ;若将题目变形为(4b -a 2)2时，则 _______ 是公式中的a ,而 ______ 就是公式中的b .(解略)练习 1•计算：5x 23y 25x 2-3y 2练习 2.计算：(x —y 七][x-y —z )千 x —y )_z练习 3.计算： Ixy z m Hxy- z m I - xy ] [ z m^2/-Z-2zmm 练习 4.计算：x ' y -2z x y 6z(2 )应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号 例计算：(-2 x 2-5)(2 x 2-5)分析：本题两个因式中“-5 ”相同，“2x 2”符号相反，因而 ______ 是公式(a +b )( a -b )= a 2-b 2例&解下列各式(1) (2) (3) 已知 a 24b 2=i3, ab=6,求(a^bj ,(a_b j 的值。