当前位置:文档之家› 量子力学基本原理的简单应用

量子力学基本原理的简单应用


nx
l
ih
2
d dx
sin
nx
l
dx
ih
l
l 0
s
in
nx
l
d
s
in
nx
l
ih sin 2 (nx / l) xl
l
2
0 x0
d 粒子的动量平方px2值
pˆ x2 n
h2
4 2
d2 dx2
2 l
sin
nx
l
h2
4 2
d
dx
n
l
2 l
cos
nx
l
h2
4 2
2 l
sin
l
x;E1
h2 8ml 2
2 l
sin
2
l
x;E2
4h 2 8ml 2
2 l
sin
3
l
x;E3
9h 2 8ml 2
2 l
sin
4
l
x;E4
16h 2 8ml 2
2. 受一定势能场束缚的粒子的共同特征
a 粒子可以存在多种运动状态(1,2…n,它们构成正交完备集); b 能量量子化; c 存在零点能; d 没有经典运动轨道(函数的正负表明波性),只有几率分布; e 存在节点,节点越多(波长越短,频率越高),能量越高; f lEn,离域效应;m ,l △En,能量变为连续,量子效应
n
l
2

2 l
sin
nx
l
n2h2 4l2
n
En
Px2 2m
n2h2 8ml2
3. 应用
① 丁二烯的离域效应:
CCCCCCCC
E1= h28ml2
E1
4 4
E离1=h28m(3l)2=E1/9
E离2=4h28m(3l)2=4E1/9
E定=4E1
E离=2E离1+2E离2
=(10/9)E1
l
l
sin
2
y)0n
B2
l n
( n 2
0)
B2
l 2
1
B 2 l
4. 一维势箱Schrödinger方程的解
n (x)
2 l
sin
n
l
x;En
n2h2 8ml 2
(0 x l;n 1,2,3)
③ 解的讨论
1. 解得图形表示
n 1; 1 (x) n 2; 1 (x) n 3; 1 (x) n 4; 1 (x)
0
0
l
令:y n x ,则: l
sin2 n x sin2 y;dy n dx l dy
l
dx l
n
l B2 sin2 n x dx B2 l n sin2 ydy
0
l
n 0
不定积分公式: sin2
xdx
1 2
x
1 4
sin
2x
B2 ldy
B2
l n
(1 2
y
1 4

2 2m
2 x 2
② Schroedinger 方程的求解
1:
2
2
2m x 2
E
d 2
dx 2
2mE 2
0
令: 2
2mE 2
则方程变为: " 2 0
该方程称为二阶常系数微分方程,其通解的形式为:
Acosx B sinx( A, B为常数)
所以薛定谔方程的解为:
Acos
2mE
n
计算
实验
1
311.6
309.0
2
412.8
409.0
说明此体系可近似看做一维势箱。
3
514.0
511.0
例题
若某电子的运动可以按一维势箱模型处理,其势 箱长度为1 Å,计算该电子由基态到第二激发态的 跃迁波数。
E
E3
E1
(32 12 )h 2 8ml 2
hcv~
v~ E 8h h hc 8ml 2c ml 2c
l
定域键
势箱长度的增加,使分子能量降低,更稳定。
4/9E1 1/9E1
3l 离域键
② 花菁染料的吸收光谱
[R2N¨-(CH=CH-)nCH=N+R2] 势箱总长l=248n+565pm,共有2n+2+2个电子; 基态时需占n+2个分子轨道,
En+2En+3时,
=△E/h=(h/8ml2)[(n+3)2-(n+2)2]=(h/8ml2)(2n+5), 由=c/, =8ml2c/(2n+5)h
§1.3.2 三维势箱中的粒子
1. 三维势箱模型
V=0 0<x<a, 0<y<b, 0<z<c V=∞ otherwise
2. 三维势箱中粒子的量子化学处理
① Schrödinger 方程
Ĥ(x, y, z)=E(x, y, z) (0<x<a, 0<y<b, 0<z<c); (x, y, z)=0 (otherwise)
nx2h2 8ma 2
2mE
l
0
2mE
l
n
2mE
n
l
2mE n nh
l 2l
因为m, E必须为非零的实数,所以n必须取大于零的正整数
En
n2h2 8ml 2
; (x)
B sin
nx
l
(n
1,2,3)
3. 归一化系数(合格波函数平方可积要求)
l
(x) * (x)dx
l B2 sin2 n x dx 1
消失;
④ 力学量的求得
a EnĤn= En n
b 粒子在箱中的平均位置:
x=x, xn≠cn, 所以x没有确定值,只能求其平均值:
x
l
0
* n
x
n
dx
l
0
n*
n
dx
l
0
* n
x
n dx
l 0
2 sin nx x l l
2 sin nx dx l l
x 2 l x sin 2 nx dx 2 l x1 cos(2 nx/l)dx
Hˆ 2 2 V 2 2
2m
2m
② Schrödinger 方程的求解
2 2 2m (x2
2 y2
2 z2
)
E
=XYZ
E=Ex+Ey+Ez
2 2 2m x2 X Ex X
2 2 2m y2 Y EyY
2 2 2m z2 Z Ez Z
X nx (x)
2 a
sin
nx
a
x;Enx
§1.3 量子力学的应用-势箱中粒子的处理
量子力学方法处理问题的思路 物理模型的建立和理解
§1.3.1 一维势箱中的粒子
1. 一维势箱模型
V=0 0<x<l(Ⅱ区) V=∞ x≤0,x≥l(Ⅰ 、Ⅲ区,=0)
2. 一维势箱中粒子的量子化学处理
① Schrödinger 方程
Ĥ(x)=E(x) (0<x<l); (x)=0 (x≤0, x≥l)
l0
l l0
2
u
cosnudu
1 n2
cosnu
1 n
u sin
nu
x
1x2
l 2
l 2n
2
cos 2nx l
l 2n
x sin
2nx l
l 0
l 2
c 粒子动量的x轴分量px
可以验证, Pˆx也无本征值,即 Pˆxn cn
Px
l
0
* n
Pˆx
n
dx
2 l
l 0
s
in
x
B
sin
2mE
x( A,
B为常数)
2: 根据边界条件(合格波函数的要求:单值、连续):
(0) 0; (l) 0 (0) A cos0 B sin 0 Acos0 0 cos(0)1 A 0; B 0
所以: (x) B sin
2mE
x
(l) B sin
2mE
l
0
B0 sin
相关主题