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2.1.2.1
一、选择题
1．下列函数中，值域是(0，＋∞)的函数是( )
A ．y ＝21x
B ．y ＝2x －1
C ．y ＝2x ＋1
D ．y ＝(12
)2－x [答案] D
[解析] 在A 中，∵1x ≠0，∴21x ≠1，所以函数y ＝21x
的值域是{y |y >0，且y ≠1}． 在B 中，∵2x －1≥0，∴2x －1≥0，所以函数y ＝2x －1的值域是[0，＋∞)． 在C 中，∵2x ＋1>1，∴2x ＋1>1，所以函数y ＝2x ＋1的值域是(1，＋∞)．
在D 中，由于函数y ＝(12
)2－x 的定义域是R ，也就是自变量x 可以取一切实数，所以2－x 也就可以取一切实数，所以(12)2－x 取一切正实数，即函数y ＝(12
)2－x 的值域为(0，＋∞)，故选D.
2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)．经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成( )
A．511个B．512个
C．1 023个D．1 024个
[答案] B
[解析] ∵每20分钟分裂一次，故3个小时共分裂了9次，∴29＝512，故选B.
3．如果函数y＝(a x－1)－1
2
的定义域为(0，＋∞)那么a的取值范围是( ) A．a>0 B．0<a<1
C．a>1 D．a≥1
[答案] C
[解析] y＝(a x－1)－1
2＝
1
a x－1
，因此a x－1>0
∴a x>1，又∵x>0，∴a>1，故选C.
4．函数y＝a|x|(0<a<1)的图象是( )
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[答案] C
[解析] y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧ a x (x ≥0)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x (x <0)，∵0<a <1，∴在[0，＋∞)上单减，在(－∞，0)上单增，且y ≤1，故选C.
[点评] 可取a ＝12
画图判断．
A ．a >b >c
B ．b >a >c
C ．b >c >a
D ．c >b >a
[答案] B
即a >c ，∴b >a >c .
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[点评] 指数函数的图象第一象限内底大图高，
6．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 等于( ) A.
12 B ．2
C ．4 D.14
[答案] B
[解析] 当a >1时，y min ＝a 0＝1；y max ＝a 1＝a ，
由1＋a ＝3，所以a ＝2.
当0<a <1时，y max ＝a 0＝1，y min ＝a 1＝a .
由1＋a ＝3，所以a ＝2矛盾，综上所述，有a ＝2.
7．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝ax 与指数函数g (x )＝a x 的图象可能是
( )
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[答案] B
[解析] 由指数函数的定义知a >0，故f (x )＝ax 的图象经过一、三象限，∴A、D 不正确．
若g (x )＝a x 为增函数，则a >1，
与y ＝ax 的斜率小于1矛盾，故C 不正确．
B 中0<a <1，故B 正确．
8．函数y ＝(12)x 2＋2x 的值域是( )
A ．(0，＋∞)
B ．(0,2]
C ．(12，2]
D ．(－∞，2]
[答案] B
[解析] ∵u ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1≥－1，
y ＝(12)u 在[－1，＋∞)上是减函数，
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∴y ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1＝2.∴y ∈(0,2]． 二、填空题
9．指数函数y ＝f (x )的图象过点(－1，12
)，则f [f (2)]＝________. [答案] 16
[解析] 设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，∵f (x )图象过点(－1，12
)，∴a ＝2，∴f (x )＝2x ， ∴f [f (2)]＝f (22)＝f (4)＝24＝16.
10．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝3x －2的值域为__________．
[答案] {y |－53
≤y ≤1} [解析] 当－1≤x ≤1时，13≤3x ≤3，∴y ∈[－53，1]，值域为{y |－53
≤y ≤1}． 11．已知x >0时，函数y ＝(a 2－8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________．
[答案] a >3或a <－3
[解析] 当x >0时(a 2－8)x >1，∴a 2－8>1，
∴a >3或a <－3.
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12．(09·江苏文)已知a ＝5－1
2，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，
则m ，n 的大小关系为________．
[答案] m <n
[解析] ∵a ＝5－1
2，∴0<a <1，
∴函数f (x )＝a x 在R 上单调递减，
∵f (m )>f (n )，∴m <n .
三、解答题
13．已知f (x )＝12(a x －a －x )，g (x )＝12
(a x ＋a －x )， 求证：[f (x )]2＋[g (x )]2＝g (2x )．
[解析] f 2(x )＋g 2(x )
＝1
4(a x －a －x )2＋1
4(a x ＋a －x )2
＝14(2a 2x ＋2a －2x )＝1
2(a 2x ＋a －2x )＝g (2x )成立．
14．分别把下列各题中的三个数按从小到大的顺序用不等号连接起来．
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15．已知f (x )＝7
3
x ＋1，g (x )＝2x ，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．试问在哪个区间上，f (x )的值小于g (x )？哪个区间上，f (x )的值大于g (x )?
[解析] 在同一坐标系中，画出函数f (x )＝2x 与g (x )＝7x 3
＋1的图象如图所示，两函数图象的交点为(0,1)和(3,8)，
显然当x ∈(－∞，0)或x ∈(3，＋∞)时，f (x )>g (x )，当x ∈(0,3)时，f (x )<g (x )．
16．判断函数f (x )＝x 2x －1＋x
2
的奇偶性．
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[解析] ∵2x －1≠0，∴x ≠0，定义域{x ∈R |x ≠0} ∵f (x )＝x 2x －
1＋x 2＝x (2x ＋1)
2(2x －1)， ∴f (－x )＝－x (2－x ＋1)2(2－x －1)＝－x (1＋2x )2(1－2x )
＝x (2x ＋1)
2(2x －1)＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．
17．求下列函数的定义域和值域
[解析] (1)函数的定义域为R ，值域为(0，＋∞)
(2)要使函数有意义，必须且只须3x －2≥0，
即x ≥23，∴函数的定义域为[23
，＋∞) 设t ＝3x －2，则t ≥0，y ＝5t ∴y ≥1 ∴函数的值域为[1，＋∞)．
实用文档 (3)要使函数有意义，必须且只须x ＋1≠0， 即x ≠－1.
∴函数的定义域为{x ∈R |，x ≠－1}
设t ＝x ＋2
x ＋1，则t ∈R 且t ≠1，y ＝(13)t ， ∴y >0且y ≠13
∴函数的值域为(0，13)∪(13
，＋∞)。