u t0 h
()
u h
u xl / 2 h ( )
0
l
lx
2
正确写法
u t0
2h l
x,
2h (l l
x ),
0 x l 2
l xl 2
二. 边界条件 描述某系统或过程边界状况的约束条件称为边界条件. ➢第一类边界条件
例.长为l的弦，一端固定，一端以 sint 规律运动
u x0 0, u xl sin t
如
Lu
a11
2u x 2
2a12
2u xy
a22
2u y 2
b1
u x
b2
u y
c
u
u x
x0
二阶偏微分方程
a11
2u x 2
2a12
2u xy
a22
2u y 2
b1
u x
b2
u cu y
f
可简写为
L[u] f
叠加原理 1 若ui 满足线性方程 L[ui ] fi ，i 1,2,, n
i 1
B i
u x
cu
f
0
i
j
i
两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式
A 2u 2B 2u C 2u D u E u Fu f
x 2
xy y2 x y
………
➢ 线性方程的叠加原理
称形如
L
a11
2 x 2
2a12
2 xy
a22
2 y 2
b1
x
b2
y
c
x
x0
的符号为微分算子。
§2 初始条件与边界条件
1. 初始条件
2. 边界条件
一 . 初始条件及Cauchy问题
1、描述某系统或某过程初始状况的条件称为初始 条件；
2、初值条件与对应方程加在一起构成初值问题 (或称Cauchy问题）。
弦振动问题
初始位移、初始速度分别为 ( x), ( x) ,称 u t0 ( x), ut t0 ( x)
u x0 0, ux xl 0
(0 x l,t 0) (0 x l)
波动方程的混合问题
➢只附加边界条件的定解问题称为边值问题. ➢初值条件、边界条件统称为定解条件 . ➢初值问题、边值问题、混合问题统称为定解问题.
➢一般线性二阶偏微分方程（n个自变量）源自nn2ui1 k1
A ik
x
x
n
弹性力 k u xl
张力
T u x xl
u
u
x
xl
0
( T )
k
(2) 热传导问题（端点自由冷却）
散失的热量
dQ1 h(u u1)dSdt
内部流到边界的热量
dQ2
k
u dSdt n
dQ1 dQ2 k nu h(u u1 )
即
(u
u )
x xl
u1
( k )
h
§3 定解问题
➢包含初值条件的定解问题称为初值问题
（Cauchy 问题）
utt u |t0
a 2uxx
(x
)
0
ut |t0 ( x)
( x ,t 0) ( x )
弦振动的Cauchy问题
ut a2uxx 0
u |t0 ( x)
( x ,t 0) ( x )
热传导方程的Cauchy问题
x
, t
0)
的解等于问题(I)和问题(II)的解之和
(I)
utt u t0
a2uxx 0
( x), ut
t0
(
(x)
x
, t
0)
(II) utt a2uxx f ( x, t ) u t0 0, ut t0 0
( x ,t 0)
➢第二类边界条件
u 0 x xl 不受力 自由端
对弦的振动
u x xl
f (t) 表示在x轴方向给出的外力
对热传导方程 u f ( x, y, z,t) 表示单位面积、单 n
位时间沿边外法 线方向流出的热量。
u 0 n 没有热交换 绝热
➢ 第三类边界条件
例 (1) 弦的振动（端点弹性连结）
（或定解条件B[ui ] gi ），
n
则u ci ui 满足方程
i 1 n
L[u] ci fi
i 1 n
（或定解条件B[u] ci gi ），其中ci 为任意常数。
i 1
例 非齐次波动方程的Cauchy问题
utt u t 0
a 2uxx f
( x), ut
( x, t) (
t0 (x)
为波动方程的初值条件。
(x) 0且 (x) 0 齐次初始条件.
热传导方程
u t0 ( x)
称为热传导方程的初值条件
注意 ➢ 不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。 ➢ 初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非
系统中个别点的初始状态。
例.长为 l 两端固定的弦，初始时刻将弦的中点拉起 h
➢包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题 (初边值问题)
uutt
0
a2(uxx
(x, y
u yy ,z)
uzz
)
0
(u u) f ( x, y, z, t )
n
(x, y,z) ,t 0 (x, y,z)
热传导方程的混合问题
utt a2uxx
u t0 ( x),ut t0 ( x)