（A） （B）
（C） （D） 【 】
（8）设 是奇函数，除 外处处连续， 是其第一类间断点，则 是
（A）连续的奇函数.（B）连续的偶函数
（C）在 间断的奇函数（D）在 间断的偶函数.【 】
（9）设函数 可微， ，则 等于
（A） .（B）
（C） （D） 【 】
（10）函数 满足一个微分方程是
（A） （B）
（A）若
（B）若
（C）若
（D）若
今 代入(1)得
今 故选[D]
三、解答题
（15）试确定A，B，C的常数值，使 其中 是当 .
解：泰勒公式 代入已知等式得
整理得
比较两边同次幂函数得
B+1=A①
C+B+ =0②
③
式②-③得
代入①得
代入②得
（16）求
解：原式=
（17）设区域
计算二重积分
解：用极坐标系
（18）设数列 满足 ，
（9）设函数 则g(1)等于[C]
（A） （B）
（C） （D）
∵ ，
（10）函数 满足的一个微分方程是[D]
（A） （B）
（C） （D）
∵ 特征根为1和-2，故特征方程为
（11）设 为连续函数，则 等于[C]
（A） （B）
（C） （D）
（12）设 均为可微函数，且 在约束条件 下的一个极值点，下列选项正确的是[D]
求A的特征值和特征向量.
求作正交矩阵Q和对角矩阵,使得
QTAQ=.
解: 条件说明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即0=(1,1,1)T是A的特征向量,特征值为3.又1,2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于1,2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.
23 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量 是线性方程组A =0的两个解,(Ⅰ)求A的特征值与特征向量(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得 .
真题答案解析
一、填空题
（1）曲线 的水平渐近线方程为
（2）设函数 在x=0处连续，则a=
（3）广义积分
（4）微分方程 的通解是
（5）设函数 确定，则
当x=0时，y=1，
r(A1,A2,…,As)r(1,2,…,s).
由此马上可判断答案应该为(A).
(14)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0
P= 0 1 0 ,则
0 0 1
(A)C=P-1AP. (B)C=PAP-1.
(C)C=PTAP. (D)C=PAPT.
2006年数学（二）考研真题及解答
一、填空题
（1）曲线 的水平渐近线方程为.
（2）设函数 在 处连续，则 .
（3）广义积分 .
（4）微分方程 的通解是.
（5）设函数 由方程 确定，则 =.
（6）设矩阵 ， 为2阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 =
.
二、选择题
（7）设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在 处的增量， 与 分别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，则
解: 设1,2,3是方程组的3个线性无关的解,则2-1,3-1是AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A)2,从而r(A)2.
又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)2.
两个不等式说明r(A)=2.
对方程组的增广矩阵作初等行变换:
1 1 1 1 -11 1 1 1 -1
（C） （D）
（11）设 为连续函数，则 等于
（A） （B）
（C） （D） 【 】
（12）设 与 均为可微函数，且 .已知 是 在约束条件 下的一个极值点，下列选项正确的是
（A）若 ，则 .
（B）若 ，则 .
（C）若 ，则 .
（D）若 ，则 .【 】
（13）设 均为 维列向量， 是 矩阵，下列选项正确的是
线代
(6) 设A=2 1 ,2阶矩阵B满足BA=B+2E,则|B|=.
-1 2
解:由BA=B+2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得
|B||A-E|=|2E|=4,
计算出|A-E|=2,因此|B|=2.
(13)设1,2,…,s都是n维向量，A是mn矩阵，则（ ）成立.
(A) 若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性相关.
(A|)= 4 35 -1 -10–1 1–5 3 ,
a 1 3 b 1 0 0 4-2a4a+b-5 4-2a
由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:
1 0 2 -4 2
0 1 -1 5 -3 .
0 0 0 0 0
得同解方程组
x1=2-2x3+4x4，
x2=-3+x3-5x4，
属于3的特征向量:c0,c0.
属于0的特征向量:c11+c22,c1,c2不都为0.
将0单位化,得0=( , , )T.
对1,2作施密特正交化,的1=(0,- , )T,2=(- , , )T.
作Q=(0,1,2),则Q是正交矩阵,并且
3 0 0
QTAQ=Q-1AQ= 0 0 0 .
0 0 0
解: (B)
用初等矩阵在乘法中的作用得出
B=PA,
1 -1 0
C=B0 1 0 =BP-1=PAP-1.
0 0 1
(22)已知非齐次线性方程组
x1+x2+x3+x4=-1,
4x1+3x2+5x3-x4=-1，
ax1+x2+3x3+bx4=1
有3个线性无关的解.
证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.
求a,b的值和方程组的通解.
(B) 若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性无关.
(C) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性相关.
(D) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性无关.
解: (A)
本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.
若1,2,…,s线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,cs使得
证明：（1） 存在，并求极限
（2）计算
证：（1）
单调减少有下界
根据准则1， 存在
在 两边取极限得
因此
（2）原式
离散散不能直接用洛必达法则
先考虑
用洛必达法则
（19）证明：当 时，
证：令
只需证明 单调增加（严格）
单调减少（严格）
又
故 单调增加（严格）
得证
（20）设函数 内具有二阶导数，且 满足等式
（I）验证
（A）若 线性相关，则 线性相关.
（B）若 线性相关，则 线性无关.
（C）若 线性无关，则 线性相关.
（D）若 线性无关，则 线性无关.【 】
（14）设 为3阶矩阵，将 的第2行加到第1行得 ，再将 的第1列的-1倍加到第2列得 ，记 ，则
（A） （B）
（C） （D）
三解答题
15．试确定A，B，C的常数值，使得 ，其中 是当
又把方程每一项对x求导，
二、选择题
（7）设函数 具有二阶导数，且 为自变量x在点x0处的增量， ，则[A]
（A） （B）
（C） （D）
由 严格单调增加
是凹的
即知
（8）设 是奇函数，除 外处处连续， 是其第一类间断点，则
是[B]
（A）连续的奇函数（B）连续的偶函数
（C）在x=0间断的奇函数（D）在x=0间断的偶函数
。
16．
17．
18．
19．
20设函数 满足等式
(Ⅰ)验证 .
(Ⅱ)若 .
21已知曲线 的方程为
（Ⅰ）讨论 的凹凸性；
（Ⅱ）过点（-1，0）引 的切线，求切点 ，并写出切线的方程；
（Ⅲ）求此切线与 （对应于 的部分）及 轴所围成的平面图形的面积。
22已知非齐次线性方程组
Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩
Ⅱ求 的值及方程组的通解
求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1)T.得到方程组的通解:(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c1,c2任意.
(23)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量1=(-1,2,-1)T,2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.
c11+c22+…+css=0,
用A左乘等式两边,得
c1A1+c2A2+…+csAs=0,
于是A1,A2,…,As线性相关.
如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:
1.1,2,…,s线性无关r(1,2,…,s)=s.
2.r(AB)r(B).
矩阵(A1,A2,…,As)=A(1,2,…,s),因此
（II）若 求函数
证：（I）
（II）令
（21）已知曲线L的方程
（I）讨论L的凹凸性
（II）过点 引L的切线，求切点 ，并写出切线的方程
（III）求此切线与L（对应 部分）及x轴所围的平面图形的面积
解：（I）
（II线方程为
（III）设L的方程
则
由于（2，3）在L上，由