递推关系(3.2.1)的特征根
教学ppt
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3.2.3 递推(3.2.1)的解
定理3.2.1 非零复数q是特征方程(3.2.2)的 根，当且仅当an＝qn是递推关系(3.2.1)的解
xk－c1xk-1－c2xk-2－…－ck-1x－ck＝0 (3.2.2) x＝q
an＝qn
an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.2.1)
是递推关系(3.2.1)的通解，其中A1,A2,…,Ak
为任意的常数。
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3.3.5 递推(3.2.1)特征根有重根
例3.2.3 解递归 aa0n==-02,aan1-=11,aa2n=-42,a3=3
解 递推推关系an＝－2an-1－an-4 (＊) (＊)的特征方程为x4＋2x2＋4＝0 (＊)的特征根x1＝x2＝i , x3＝x4＝－i
把f0＝0, f1＝1代入通解得
A1 A2 0
1 2
5
A1
1 2
5
A2
1
A 1
5 5
A
2
5 5
因此所求递归的解为
n
n
f
n
51 5
5
2
4 递推(3.2.1)特征根互不同
定理3.2.3中，若特征方程(3.2.2)有共
轭复根x1＝peiө，x2＝pe-iө
例3.2.1 解递归 f0=0,f1=1 fn=f f n-1+ n-2
解 递推推关系fn＝fn-1＋fn-2 (＊)
(＊)的特征方程为x2－x－1＝0
(＊)的特征根x1＝1 + 2 5 , x2＝1 - 2 5
(＊)的通解
n
n
f n=A1125教学pp+t A2125
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3.2.4 递推(3.2.1)特征根互不同
递推关系(3.2.1)的通解
an＝A1x1n＋A2x2n＋…＋Akxkn
共轭复根x1＝peiө，x2＝pe-iө
递推关系(3.2.1)的通解an＝A1pncosnө ＋
A2pnsinnө ＋A3x3n ＋…教＋学ppAt kxkn
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3.2.4 递推(3.2.1)特征根互不同
例3.2.2 解递归a1=1,a2=0 an=an-1 an-2
其中c1,c2,…,ck是实数教常学p数pt ， ck≠0
4
3.2.3 递推(3.2.1)的解
定理3.2.2 若h1(n),h2(n),…,hk(n)是递 推关系(3.2.1)的解，则它们的线性组合
A1h1(n)＋A2h2(n)＋…＋Akhk(n)也是递 推关系(3.2.1)的解，其中A1, A2,…, Ak为 常数。
此时x1n＝pneinө，x2n＝pne-inө都是递推 关系(3.2.1)的解。再由定理3.2.2知：
1 2
x1n＋
1 2
x2n＝pncosnө,
1 2
x1n－12
x2n＝pnsinnө
也都是递推关系(3.2.1)的解。
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3.2.4 递推(3.2.1)特征根互不同
特征方程(3.2.2)有k个不同的根x1,x2,…,xk
(＊a )的n = 通A 1 c 解o s n 2 + n A 2 c o s 教n 学2 ppt A 3 s in n 2 + n A 4 s in n 2 15
3.3.5 递推(3.2.1)特征根有重根
把a1＝0, a2＝1,a3＝2, a4＝3代入通解得
A1 0
A
3
A
1
A
2
4
3.2常系数线性齐次递推关系
3.2.1 递推关系(3.2.1)
3.2.2 递推(3.2.1)的特征方程
3.2.3 递推(3.2.1)的解
3.2.4 递推(3.2.1)特征根互不同
3.3.5 递推(3.2.1)特征根有重根
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3.2.1 递推关系(3.2.1)
常系数k阶线性齐次递推关系 an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.2.1) 其中c1,c2,…,ck是实数常数， ck≠0
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3.2.4 递推(3.2.1)特征根互不同
定理3.2.3 如果特征方程(3.2.2)有k
个不同的根x1,x2,…,xk (可有共轭虚 根)，则
an＝A1x1n＋A2x2n＋…＋Akxkn
是递推关系(3.2.1)的通解，其中
A1,A2,…,Ak为任意教的学pp常t 数。
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3.2.4 递推(3.2.1)特征根互不同
系(3.2.1)的解。
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3.3.5 递推(3.2.1)特征根有重根
定理3.2.5 设x1,x2,…xt-1,xt(t＜k)是特征方程 (3.2.2)的t个不同根，且xt为m(m＝k－t＋1) 重根，则
an＝A1x1n＋A2x2n＋…＋At-1xt-1n
＋n0Atxtn＋n1At+1xt+1n＋ …＋nm-1Akxkn
3
A2 sin 3
1
A1
cos
2
3
2
A2 sin 3
0
A
1
1
A 2
3 3
因此所求递归的解为
an
cosn
3
3sinn
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3.3.5 递推(3.2.1)特征根有重根
定理3.2.4 设q(q≠0)是递推关系(3.2.1)
的特征方程(3.2.2)的m(m≥2)重根，则
an＝ntqn(t＝0,1,2,…,m－1)都是递推关
A
2
1
2
A 3 3 A 4 3
因此所求递归的解为
A1 0
A A
2 3
1 3
A 4 2
a n nco sn 2 3 sinn 2 2 nsinn 2
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3.2.2 递推(3.2.1)的特征方程
把an＝xn (x≠0)代入递推关系(3.2.1)得 xn＝c1xn-1＋c2xn-2＋…＋ckxn-k 用xn-k除上式两边得
xk＝c1xk-1＋c2xk-2＋…＋ck-1x＋ck xk－c1xk-1－c2xk-2－…－ck-1x－ck＝0 (3.2.2) (3.2.2)即为递推关系(3.2.1)的特征方程
解 递推推关系an＝an-1－an-2 (＊) (＊)的特征方程为x2－x＋1＝0
(＊)的特征根x1
1+ 3i 2
ei 3
,
x2
12
3i
e
i 3
(＊)的通解 an=A1cosn3+A2sinn3
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3.2.4 递推(3.2.1)特征根互不同
把a1＝1, a2＝0代入通解得
A1
cos