浙江省杭州外国语学校2013-2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷
（文科）
注意事项：
1、 考试时间100分钟，本试卷满分100分；
2、 本场考试不准使用计算器等计算工具；
3、 请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔答题，在答题卷相应处写上班级、姓名、考号，所有答案均 做在答卷的相应位置上，做在试题卷上无效.
一、选择题（共10小题，只有一个选项为真，每小题4分，共40分）
1、若复数1z i =+，则(1)z z +⋅= ( )．
A ．13i +
B ．33i +
C ．3i -
D ．3
2、在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是( ） A ．12
694C C
B.C 1
6C 299 C.C 3100－C 394
D.A 3
100－A 394
3、8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 ( )． A ．8289A A B ．8289A C C ．8287A A D ．82
87A C 4、用数学归纳法证明不等式1
11
11271()24
264
n n N *-++++
>∈成立，其n 的初始值至少应为 ( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 5、观察下图： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ……
则第________行的各数之和等于2 013
2
( )．
A ．2 014
B ．2 013
C ．1 007
D ．1 008
6、设,,a b c 均为正实数，则三个数111
,,a b c b c a
+++ ( )． A ．都大于2
B ．都小于2
C ．至少有一个不大于2
D ．至少有一个不小于2
7、数学教研组开设职业技能类选修课3门，知识类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类选修课中各至少选一门，则不同的选法共有 ( )． A ．30种 B ．35种 C ．42种 D ．48种
8、点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =+的最小距离为 ( )．
．D ．2
9、()f x 是定义在(0,)+∞上的非负、可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤，对任意正数,a b ，若a b <，则必有 ( )． A ．)()(b bf a af ≤ B ．)()(b bf a af ≥ C ．)()(b bf a af <
D ． )()(b bf a af >
10、已知函数()ln x f x e a x =+的定义域是D ，关于函数()f x 给出下列命题： ①对于任意(0,)a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数； ②对于任意(,0)a ∈-∞，函数()f x 存在最小值；
③存在(0,)a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈，都有()0f x >成立； ④存在(,0)a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．
其中正确命题的序号是 ( )． A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④
二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 11、已知a R ∈，复数
112
a i
i -+-是纯虚数，则a = ________. 12、函数x x x x f ln )(2
-+=的单调递增区间为
13、8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有________场比赛．
14、若2
1()l n(2)2
f x x b x =-++在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________． 15、某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过
2个，则该外商不同的投资方案有________种．
三、解答题（本题有4小题，请写出必要的解答过程，每题10分，共40分） 16.已知函数ln ()x
f x x
=
. （Ⅰ）求()f x 在点(1,0)处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在[1,]t 上的最大值.
17.对于数列{}n a ：111)12(,1++++==n n n c n ca a a *(N n ∈,实常数)0≠c （Ⅰ）求432,,a a a ，并猜想n a （Ⅱ）证明你的猜想。
18、给出一个正五棱柱．
（Ⅰ）用3种颜色给其10个顶点染色，要求各侧棱的两个端点不同色，有几种染色方案？ （Ⅱ）以其10个顶点为顶点的四面体共有几个？ 19.设函数3()f x x ax b =-+的图像为曲线C
（1）若函数)(x f 不是R 上的单调函数，求实数a 的范围。
（2）若过曲线C 外的点10A （，）作曲线C 的切线恰有两条，
求b a ,的关系式。
（3）若存在00x ∈+∞（，）
，使()000x
f x x e a >⋅+成立，求a 的取值范围。
参考答案：
16解：（1）⇒='=⇒-=
'1)1(ln 1)(2
f k x
x
x f 切线方程为1-=x y （2）由)(x f '知)(x f 在[]e ,1上递增，在[)+∞,e 上递减，
故当],1(e t ∈时，)(x f 最大值是t t t f ln )(=
当),(+∞∈e t 时，)(x f 的最大值为e
e f 1)(=
17解：（1）n n n c n c a c c a c c a c c a )1(15,8,32143432322-+=⇒+=+=+=- （2）证：略
18解：（1）7776235
5
=⋅
（2）180255554
5410=-----C C
19解：（1）题意03)(2=-='a x x f 有两解0>⇒a
（2）设切点为),(00y x ，则切线方程为：))(3(000x x a x y y --=-
切线过（1，0），故)1)(3(000x a x y --=-① ， 又b ax x y +-=03
00②， 由①②消去0y 得a b x x -=-2
03032
令2332)(x x x g -=，由x x x g 66)(2-='知极值点在0，1，极值为0，－1 故a b =或1-=-a b ，
但A 点不在C 上，故010)1(≠+-⇒≠b a f 综上：b a =
（3）,00>∃x 00
2
0003
0x x e x a a e x b ax x -<⇒+⋅>+-
max )(2
x
e x a -<⇒
x x x e x e x e x -⇒<-='-2202)(是递减的⇒max )(2x e x -不存在，但其上确
界是1)0(-=f ，故所求的a 的范围为：1-<a。