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最新多元函数微分法及其应用习题及答案

第八章 多元函数微分法及其应用(A)1.填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2,xy z∂∂∂2 ,则在D 上,xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。

2.求下列函数的定义域(1)y x z -=;(2)22arccos yx z u +=3.求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→; (2)11lim 00-+→→xy xyy x ; (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4.设()xy x z ln =,求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。

5.求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =;(2)()xy z ln =;(3)32z xy e u =。

6.设u t uv z cos 2+=,t e u =,t v ln =,求全导数dt dz 。

7.设()z y e u x -=,t x =,t y sin =,t z cos =,求dtdu。

8.曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ,在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少?9.求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

10.设y x ye z x 2sin 2+=,求所有二阶偏导数。

11.设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数,求xz∂∂,y z ∂∂。

12.设x y e e xy =+,求dxdy 。

13.设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数,求xz∂∂,y z ∂∂,y x z ∂∂∂2。

14.设y ye z x cos 2+=,求全微分dz 。

15.求函数()222ln y x z ++=在点()2,1的全微分。

16.利用全微分求()()2201.498.2+的近似值。

17.求抛物面22y x z +=与抛物柱面2x y =的交线上的点()2,1,1P 处的切线方程和平面方程。

18.求曲面3914222=++z y x 上点()3,1,2-P 处的切平面方程和法线方程。

19.求曲线t x 34=,2t y =,3t z =上点()0000,,z y x M ,使在该点处曲线的切线平行于平面62=++z y x 。

20.求函数()()224,y x y x y x f -=-=的极值。

21.求函数()()y y x e y x f x 2,22++=的极值。

22.要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池,底面材料单价每平方米20元,侧面材料单价每平方米8元。

问应如何设计尺寸,方便材料造价最省?(B)1.求下列函数的定义域(1)()()[]222410ln ln arcsin yx y x z --+-=;(2)222241y x y x u ---+=2.(1)设22,y x x y y x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,求()y x f ,,()xy y x f ,-。

(2)设()y x y x f 2,+=,求()()y x f xy f ,, 3.求下列函数的极限(1)()2222221lim y x y x y x +∞→∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-;(2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+→→2222110sin lim yx yx y x e e4.设()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,,00,0),(,,24y x y x y x xyy x f 当当,问()y x f y x ,lim 0→→是否存在?5.讨论函数的连续性,其中()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=y x y x y x y x x y x f 2,02,22sin ,。

6.二元函数()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,,00,0,,,22y x y x y x xyy x f 在点()0,0处:①连续,偏导数存在;②连续,偏导数不存在;③不连续,偏导数存在;④不连续,偏导数不存在。

7.设()yy x z 21+=,求xz∂∂,y z ∂∂。

8.设()z y x f u 23223++=,求xf∂∂,22x f ∂∂。

9.设()z y x f u 2,3,223=,求zf∂∂,x z f ∂∂∂2。

10.设()2222,y x y x xyf z -+=,f 可微,求dt 。

11.设()0,,=+xz z y xy f ,求xz∂∂,y z ∂∂。

12.设0=-z x y z ,求111===z y x dz 。

13.设()θθsin ,cos r r f z =可微,求全微分dz 。

14.设()y x f z ,=是由方程()0,=-yz z x f 所确定的隐函数,其中f 具有连续的偏导数,求dz ,并由此求xz∂∂和y z ∂∂。

15.求()xyy x z 22+=的偏导数。

16.设⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x ,求dz dx ,dz dy。

17.设xyzeu =,求zy x u ∂∂∂∂3。

18.求函数xyz u =在点()2,1,5处沿从点()2,1,5到点()14,4,9方向的方向导数。

19.求函数222z y x x u ++=在点()2,2,1-M 沿t x =,22t y =,42t z -=在此 点的切线方向上的方向导数。

20.求函数z y x u 2286+=在点P 处沿方向n ρ的方向导数。

21.判断题:(简单说明理由) (1)()()00,,y x y y x f ∂∂就是()y x f ,在()00,y x 处沿y 轴的方向导数。

(2)若()y x f ,在()00,y x 处的偏导数y f ∂∂,yf ∂∂存在,则沿任一方向l 的方向导数均存在。

22.证明曲面4323232=++z y x 上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。

23.证明:球面∑:1222=++z y x 上任意一点()c b a ,,处的法线都经过球心。

24.求椭球面163222=++z y x 上的一点()3,2,1--处的切平面与平面0=z 的交角。

25.设u ,v 都是x ,y ,z 的函数,u ,v 的各偏导数都存在且连续,证明: 26.问函数z xy u 2=在()2,1,1-P 处沿什么方向的方向导最大,并求此方向导数的最大值。

27.求内接于椭球面122222=++2cz b y a x 的最大长方体的体积。

28.某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告,根据统计资料,销售收入R 与报纸广告费x 及电视广告费y (单位:万元)之间的关系有如下经验公式:221028311415y x xy y x R ---++=,在限定广告费为1.5万元的情况下,求相应的最优广告策略。

29.求函数()y x e y x f +=,的n 阶麦克劳林公式,并写出余项。

30.利用函数()y x y x f =,的2阶泰勒公式,计算02.111⋅的近似值。

(C)1.证明0lim220=+→→yx xy y x 。

2.设()()y x y x y x f ,||,ϕ-=,其中()y x ,ϕ在点()0,0,邻域内连续,问(1)()y x ,ϕ在什么条件下,偏导数()0,0x f ',()0,0y f '存在;(2)()y x ,ϕ在什么条件下,()y x f ,在()0,0处可微。

3.设()t x f y ,=而t 为由方程()0,,=t y x ϕ所决定的函数,且()t y x ,,ϕ是可微的,试求dxdy 。

4.设()y x z z ,=由0ln 2=-+⎰-dt e z z xy t 确定,求yx t∂∂∂2。

5.从方程组⎩⎨⎧=++++=++++1122222v u z y x v u z y x 中求出x u ,x v ,2x u ,2x v 。

6.设()byax ey x u z +=,,且02=∂∂∂yx u,试确定常数a ,b ,使函数()y x z z ,=能满足方程:02=+∂∂-∂∂-∂∂∂z yzx z y x z 。

7.证明:旋转曲面()22y xfz +=)0(≠'f 上任一点处的法线与旋转轴相交。

8.试证曲面a z y x =++(0>a )上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a 。

9.抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离。

10.设x 轴正向到方向l 的转角为ϕ,求函数()22,y xy x y x f +-=在点()1,1沿方向l 的方向导数,并分别确定转角ϕ,使这导数有(1)最大值;(2)最小值;(3)等于0。

第八章 多元函数微分法及其应用(A)1.填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2,x y z∂∂∂2 连续 ,则在D 上,xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 必要 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 充分 条件。

2.求下列函数的定义域(1)y x z -= 解:设定义域为D ,由0≥y 和0≥-y x ,即02>≥y x ,0≥x得(){}y x y x y x D ≥≥≥=2,0,0|,,如图1所示 (2)22arccosyx z u +=解:设定义域为D ,由022≠+y x ,即x ,y 不同时为零,且122≤+yx z ,即 222y x z +≤,得(){}0,|,,22222≠++≤=y x y x z z y x D 。

3.求下列各极限 (1)x xy y x sin lim00→→ (2)11lim 00-+→→xy xyy x解:原式⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=→→y xy xy y x sin lim 00 解:原式)11)(11()11(lim 00-+++++=→→xy xy xy xy y x 001=⋅= ()211lim=++=→→xy y x(3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 解:原式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→222222222200422sin 2lim y x y x y x y x y x +∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=→→220011lim 21y x y x 4.设()xy x z ln =,求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂ 解:()()1ln ln +=⋅+=∂∂xy xyyx xy x z x xy y x z 122==∂∂,023=∂∂∂yx z , y xy x y x z 12==∂∂∂,2231y y x z -=∂∂∂ 5.求下列函数的偏导数 (1)x y arctgz = 解:222222211y x y y x y x x x y x x y xz+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂ 类似地22211y x xx y y x y xz +=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂ (2)()xy z ln = 解:xyx x y x y x x x z ln 211ln ln 121ln ln =⋅+=+∂∂=∂∂ 同理可证得:xyy y z ln 21=∂∂ (3)32z xy e u =解:()32323232z xy z xy e z y z xy xe x z=∂∂=∂∂ ()3223322z xy z xy e xyz z xy ye y u =∂∂=∂∂()323222323z xy z xy e z xy z xy ze z u=∂∂=∂∂ 6.设u t uv z cos 2+=,t e u =,t v ln =,求全导数dtdz。

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