第七章 线性离散系统的分析与校正7-1 试根据定义∑∞=-*=0)()(n nTs e nT e s E确定下列函数的)(s E *和闭合形式的)(z E ：⑴ t t e ωsin )(=；⑵ ))()((1)(c s b s a s s E +++=，b a ≠，c a ≠，c b ≠。

解：Ts e z =；⑴ )()sin()(0z E enT s E n nTs==∑∞=-*ω；1)cos(2)sin(21}{21)(20+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=-∞=--∑z T z z T e z z e z z j e e e j z E T j T j n nTsjwnT jwnT ωωωω。

⑵ ))()((1))()((1))()((1)(c s c b c a b s b c b a a s a c a b s E +--++--++--=； ∑∑∑∞=--∞=--∞=--*--+--+--=000))((1))((1))((1)(n nTs cnT n nTsbnT n nTs anT e e c b c a e e b c b a e e a c a b s E ； ))()(())()(())()(()(cTbT aT e z c b c a ze z b c b a z e z a c a b z z E ------+---+---=； 记))()((c b c a b a ---=∆，∆-=b a k 1，∆-=ca k 2，∆-=cb k 3；))()(()()()()(3)(2)(12321cTbT aT T c b T c a T b a aT bT cT e z e z e z ze k e k e k z e k e k e k z E ---+-+-+-------+-++-=。

7-2 采样周期为T ，试求下列函数的Z 变换：⑴ n a nT e =)(； ⑵ t e t t e 32)(-=；⑶ 3!31)(t t e =； ⑷ 21)(ss s E +=；⑸ )1(1)(2+-=-s s e s E sT 。

解：求解⑵和⑶小题可应用Z 变换的偏微分定理或乘以时间变量的函数的Z 变换：偏微分定理 已知函数),(a t f 的Z 变换为),(a z F ，a 是与t 及Z 无关的变量或常数，则：),()],([a z F aa t f a Z ∂∂=∂∂。

证明：由Z 变换的定义及等值变换进行证明得，),(),(),()],([00a z F a z a nT f a z a nT f aa t f a Z n n n n ∂∂=∂∂=∂∂=∂∂∑∑∞=-∞=-。

乘以时间变量的函数的Z 变换 已知函数)(t f 的Z 变换为)(z F ，则：)()]([z F zd dzT t f t Z -=⋅。

证明：由Z 变换的定义及等值变换进行证明得，)()()()()]([000z F z d d z T z nT f z d d z T z nT f z d d z T znT f nT t f t Z n nn n n n-=-=-==⋅∑∑∑∞=-∞=-∞=-。

⑴ az zz E -=)(； ⑵ 解1：因t a ta e a e t --∂∂=222及T te z z e Z 33][---=，得到 33332)()()(T TT e z e z z eT z E ----+=。

解2：333322333)()(])([][)(T TT T T T e z e z z e T e z z Te z d d z T e z z z d d z T z d d z T z E -------+=--=---=。

⑶ 解1：因t a e a t 333∂∂=，0=a ；即 42333)1()14(!3!31)(-++=-∂∂=z z z z T e z z a z E aT 。

解2：423)1()14(!3]}1[{!3)(-++=----=z z z z T z z z d d z T z d d z T z d d z T z E 。

⑷ 2022)1()1(]1[)(--+=-+∂∂==z T z z e z z s s s s z E s Ts ；或 22)1(1]1[]1[)(-+-=+=z z T z z sZ s Z z E 。

⑸ )1}())(1({)1]()1(1[)(1012--=---+-+∂∂=-+=z e z z e z s z s z s s Z z E Ts Ts ))(1()1(1)1(T T T e z z e T z e T -----+-+--=。

7-3 试用部分分式法、幂级数(长除)法和反演积分(留数计算)法，求下列函数的Z 反变换：⑴ )2)(1(10)(--=z z zz E ；⑵ 211213)(---+-+-=zz z z E 。

解：部分分式法⑴ }12{10)(---=z z z z z E ，)12(10)(-=n nT e ，0≥n ； ⑵ 1)1(2)(22----=z zz T z T z E ，32)(--=n nT e ，0≥n ； 幂级数(长除)法⑴ })12(830{103110)(321211+-+++++=+-=-------n n z z z z zz z z E ， )12(10)(-=n nT e ，0≥n ；⑵ -+------=+-+-=-------nz n z z z zz z z E )32(9753213)(321211， 32)(--=n nT e ，0≥n ；反演积分(留数计算)法⑴ )12(10210110)(12-=-+-===n z nz n z z z z nT e ； ⑵ 32})1(3{)3()(11112--=++-=+-==-=-n z n z n z z z z d dnT e z n n z n 。

7-4 试求下列函数的脉冲序列)(t e *：⑴ )13)(1()(2++=z z zz E ；⑵ 2)5.0)(1()(+-=z z zz E 。

解：采用留数计算法，采样周期为T 。

⑴ jz nj z n z n j z z z j z z z z z t e =-=-=*+++-+++=3312)3)(1()3)(1(13)(；)]}33()33()1[(35.0)1{(25.0)(2/12/12/j j j nT e nn n n ++--⨯--=-；以下0≥k 为整数。

)931(25.0)4(k kT e -⨯-=；)193(25.0)4(-⨯=+-k T kT e ；)3/91(25.0)24(k T kT e -+=+；)3/91(25.0)34(k T kT e -+-=+； ⑵ 5.015.01225.2)1(25.211)5.0()(-=--==---=-++=z nn z n z n z z z n z z z d d z z nT e {}{}.0,)5.0)(13(194)5.0()5.0)(1(1941≥--+=----+=-n n n n n n n 7-5 试确定下列函数的终值：⑴ 211)1()(---=z z T z E ；⑵ )1.0)(8.0()(2--=z z z z E 。

解：⑴ nT nt e =)(，∞=∞→)(lim nT e n ；⑵ 0)1.0)(8.0()1(lim )(lim 211=---=-→∞→z z z z t e z t 。

7-6 采样周期为T ，已知)]([)(t e Z z E =，试证明下列关系成立：⑴ )()]([az E nT e a Z n=； ⑵ )()]([z E zd dTzt te Z -=。

证明：⑴ )()()()]([0azE a z nT e z nT e a nT e a Z n nn nn n =⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑∞=-∞=-。

⑵ )]([)()()()(00t te Z z nT e nT z nT e z d d Tz z E z d d Tz n n n n==-=-∑∑∞=-∞=-。

7-7 已知差分方程为0)2()1(4)(=+++-k c k c k c ，初始条件：0)0(=c ，1)1(=c 。

试用迭代法求输出序列)(k c ，4,3,2,1,0=k 。

解：)2()1(4)(---=k c k c k c ，2≥k ；输出序列)(k c ：{ 0，1，4，12，36 }。

7-8 试用Z 变换法求解下列差分方程：⑴ )()(8)(6)2(t r t c T t c T t c ****=++-+，)(1)(t t r =，)0(0)(≤=*t t c ；⑵ )()()(2)2(t r t c T t c T t c ****=++++，0)()0(==T c c ，),2,1,0()( ==n n nT r ； ⑶ 0)(6)1(11)2(6)3(=++++++k c k c k c k c ，1)1()0(==c c ，0)2(=c ；⑷ 2cos)(6)1(5)2(πk k c k c k c =++++，0)1()0(==c c 。

解：⑴ )()(8)1(6)2(k r k c k c k c =++-+，0)1()0(==c c ；)4(6)2(2)1(31)4)(2(1)(-+---=---=z zz z z z z z z z z C ； )4232(61)(n n nt c +⨯-=，0≥n 。

⑵ )()()1(2)2(k r k c k c k c =++++，0)1()0(==c c ；22)1()1(1)(-+=z zT z z C ；1212)1()1()(=-=++-=z n z n z z T z d d z z T z d d nT c ； 4])1(1)[1()(nn T nT c ---=；0)2(=kT c ，T k T kT c )1()2(-=+， ,2,1,0=k 。

⑶ )3(2527)1(211)3)(2)(1(177)(23+++-+=+++++=z zz z z z z z z z z z z C ； n n nT c 35.2275.5)(⨯+⨯-=。

⑷ 1)]2[cos(22+=z z kT T Z π，1)]2[sin(2+=z z kT T Z π； 11.011.033.024.01)3)(2(1)(22222+++++++-=+++=z zz z z z z z z z z z z C ； ]2sin 2[cos 1.024.033.0)(ππn n nT c n n ++⨯-⨯=； ,2,1,0=k 。