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8考研数学(二)真题及参考答案

2008年研究生入学统一考试数学二试题与答案一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)设2()(1)(2)f x x x x =--,则'()f x 的零点个数为( )()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3(2)曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数,则定积分()at af x dx ⎰( )()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.(3)在下列微分方程中,以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是( )()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++=()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=(5)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列,下列命题正确的是( )()A 若{}n x 收敛,则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调,则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛,则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调,则{}n x 收敛.(6)设函数f 连续,若2222()(,)uvD f x y F u v dxdy x y +=+⎰⎰,其中区域uv D 为图中阴影部分,则Fu∂=∂ ()A 2()vf u ()B 2()vf u u ()C ()vf u ()D ()vf u u(7)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30A =,则( )()A E A -不可逆,E A +不可逆.()B E A -不可逆,E A +可逆. ()C E A -可逆,E A +可逆.()D E A -可逆,E A +不可逆.(8)设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭,则在实数域上与A 合同的矩阵为( ) ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 已知函数()f x 连续,且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-,则(0)____f =.(10)微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是____y =.(11)曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . (12)曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______. (13)设xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭,则(1,2)____z x ∂=∂.(14)设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-,则___λ=.三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦. (16)(本题满分10分)设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定,其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22y x ∂∂. (17)(本题满分9分)求积分1⎰.(18)(本题满分11分)求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)(本题满分11分)设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数,且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞,直线0,x x t ==,曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍,求函数()f x 的表达式. (20)(本题满分11分)(1) 证明积分中值定理:若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则至少存在一点[,]a b η∈,使得()()()baf x dx f b a η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数,且满足32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰,证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得(21)(本题满分11分)求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值. (22)(本题满分12分)设矩阵2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,现矩阵A 满足方程AX B =,其中()1,,Tn X x x =,()1,0,,0B =,(1)求证()1nA n a =+;(2)a 为何值,方程组有唯一解,并求1x ; (3)a 为何值,方程组有无穷多解,并求通解. (23)(本题满分10分)设A 为3阶矩阵,12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量,向量3α满足323A ααα=+, (1)证明123,,ααα线性无关; (2)令()123,,P ααα=,求1P AP -.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===,由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈,2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==,所以()f x '至少有两个零点. 又()f x '中含有因子x ,故0x =也是()f x '的零点, D 正确. 本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积,0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积,所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积.本题的难度值为0.829.(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±,所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=,即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义,故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭ 所以 0x =是可去间断点,1x =是跳跃间断点.本题的难度值为0.486.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()222()2011,()vu uf r r Df u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂ 本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=,23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆. 本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭,则()2121421E D λλλλ--==---,又()2121421E A λλλλ---==----所以A 和D 有相同的特征多项式,所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵,所以A 和D 相似.由于实对称矩阵相似必合同,故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x edx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx x x x x xy e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--,则1cos()11cos()x y y xy F dy y xdx F x xy y x--'-=-=-'+-, 将(0)1y =代入得1x dydx ==,所以切线方程为10y x -=-,即1y x =+ 本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)-- 【详解】53235y xx =-⇒2311351010(2)333x y x x x -+'=-= ⇒134343101010(1)999x y x x x --+''=+=1x =-时,0y ''=;0x =时,y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号,在0x =左右近旁0y ''>,且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)21)- 【详解】设,y xu v x y==,则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yvvy u y y u uxy x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)(ln 21)2z x ∂=-∂本题的难度值为0.575.(14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯= 3|2|2||A A =32648λ∴⨯=- 1λ⇒=- 本题的难度值为0.839.三、解答题 (15)【详解】 方法一:4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x→→--= 22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二:331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦ 本题的难度值为0.823. (16)【详解】方法一:由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =,积分并由条件0t x =得21x e t =+,即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dxt dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二:由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =,积分并由条件0t x =得21x e t =+,即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)x d y e x dx=+ 本题的难度值为0.742. (17)【详解】 方法一:由于21x -→=+∞,故21⎰是反常积分.令arcsin x t =,有sin x t =,[0,2)t π∈22122220000sin cos 2cos sin ()cos 22t t t t t tdt t tdt dt t πππ===-⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+方法二:21⎰12201(arcsin )2x d x =⎰121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =,有sin x t =,[0,2)t π∈1222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故,原式21164π=+ 本题的难度值为0.631.(18)【详解】 曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +,为了便于计算继续对 区域分割,最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+本题的难度值为0.524.(19)【详解】旋转体的体积20()tV f x dx π=⎰,侧面积02(tS f x π=⎰,由题设条件知2()(ttf x dx f x =⎰⎰上式两端对t 求导得2()(f t f t = 即y '=由分离变量法解得1ln(y t C =+, 即t y Ce =将(0)1y =代入知1C =,故t y e =,1()2t t y e e -=+于是所求函数为 1()()2x x y f x e e -==+本题的难度值为0.497.(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值,即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质,有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰,即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理,至少存在一点[,]a b η∈,使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈,使 32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由 32(2)()()x dx ϕϕϕη>=⎰,知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理,并注意到(1)(2)ϕϕ<,()(2)ϕηϕ<得1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理,有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂本题的难度值为0.719. (21)【详解】方法一:作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72,最小值为6.方法二:问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值 设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--,代入22z x y =+,得122,8z z == 故所求的最大值为72,最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一:222212221213211221221122a a a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a a n a a n ar ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++ 证法二:记||n D A =,下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+.当1n =时,12D a =,结论成立.当2n =时,2222132a D a a a==,结论成立.假设结论对小于n 的情况成立.将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三:记||n D A =,将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-, 所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解,所以由Ax B =知0A ≠,又(1)nA n a =+,故0a ≠. 由克莱姆法则,将n D 的第1列换成b ,得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a a a a a aa aD na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+(III)方程组有无穷多解,由0A =,有0a =,则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -,所以方程组有无穷多解,其通解为()()10000100,TTk k +为任意常数.本题的难度值为0.270.(23)【详解】(I)证法一:假设123,,ααα线性相关.因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量,故12,αα线性无关,则3α可由12,αα线性表出,不妨设31122l l ααα=+,其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0,则3α为0,由323A ααα=+可知20α=,而特征向量都是非0向量,矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++,又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++,整理得:11220l αα+=则12,αα线性相关,矛盾. 所以,123,,ααα线性无关.证法二:设存在数123,,k k k ,使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3)因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量,所以12,αα线性无关,从而130k k ==,代入(1)得220k α=,又由于20α≠,所以20k =,故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=,则P 可逆,123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.本题的难度值为0.272.。

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