Brillouin zone
summary
The central cell in the reciprocal lattice is of special importance in the theory of solids. It is the first Brillouin zone. The first Brillouin zone is the smallest volume entirely enclosed by the planes that are perpendicular bisectors of the reciprocal lattice vectors.
3、布里渊区的性质 从上面的例子可以看出布里渊区有如下性质： （1）布里渊区的形状与晶体结构有关； （2）布里渊区的边界由倒格矢的垂直平分面构成； （3）对于给定的晶体结构，各布里渊区的形状不同，但体积都 相同，都等于倒格子的原胞体积。
其实，第一布里渊区就是倒格子空间的维格纳-赛茨原胞，它 的体积就是倒格子原胞体积。
The first Brillouin zone is the Wigner-Seitz primitive cell in the reciprocal lattice.
§2.4 原子的形状因子和结构因子 (atomic form factor and structure factor )
一、散射波振幅（Diffraction amplitude）
倒格子的原胞基矢为
b1
2
a
i
b2
2
a
j
离原点最近的的倒格点有四个:
b1 , -b1 , b2 , - b2 它们的垂直平分线围成的区域 就是简约布里渊区,即第一布里渊 区.显然,第一布里渊区是一个正 方形,面积为 S*=(2π)2/a2 .
二维方格子布里渊区
可以看出，倒格子点阵也是正方点阵，点阵常数为 2
已经消除。因此，我们可以用
mG 来替代 G
即可以得到布拉格的结果： 2d sin m
二、布里渊散射条件和布里渊区（Brillouin zone） 1、布里渊散射条件（Brillouin’s diffraction condition ）
如图2.4所示是倒空间的二维格子。
k G
1G 2
图2.4 倒空间的二维格子
aa
2 j 2 k
aa
2 k 2 i
aa
这十二个倒格矢的中垂面围成的 区域就是第一布里渊区，
如图2.7所示是一个十二面体。
第一布里渊区种典型 对称点的坐标为：
: 2 (0, 0, 0)
a
H : 2 (1, 0, 0)
a
N : 2 (1 , 1 , 0)
a 22
P : 2 (1 , 1 , 1)
a
倒格矢表示为
Gh
h1b1
h2b2
2
a
(h1i
h2
j)
h1, h2为整数。离原点最近的四个倒格点的倒格矢分别为
b1(h1 1, h2 0), b2(h1 0, h2 1)
通过这四个矢量的中点
1
2 b1 a i ,
1 2
b2
a
j
分别作四个垂直平分面，就形成了第一布里渊区的边界。 再作离原点次近邻的倒格点的倒格矢分别为
G hb1 kb2 lb3
垂直于密勒指数（hkl）的晶面族，而且这个晶面族的面间距为
d 2
G
因此 2k G G2 可以写为 2(2 / )sin 2 / d
或者 2d sin
其中θ是入射光与晶面之间的夹角。
其实，定义倒格矢的整数 hkl 未必就代表实际的晶面，因为hkl
可能包含一个公因数m ，在用 hkl 作为晶面的密勒指数时，公因数
1、振幅的表示 （express of amplitude）
考虑如图所示的X射线被固体散射的情况，入射平面波
波矢为 k ，散射平面波 eik ' r ，波矢为 k '
eik r
当入射 X 射线与固体中电荷密度为 n(r )
的电子相互作用时发生散射。 散射的振幅与有限体积元 dV 中的电荷
e n(r )dV 成正比，其位相因子为 i
a 222
图2.7 体心立方正格子的第一布里渊区
（5）面心立方结构晶体点阵的布里渊区 取面心立方的原胞基矢为：
a1
a 2
(
j
k
)
a a2 2 (k i )
原胞体积为
a1 (a2 a3 ) a3 / 4
a3
a 2
(i
j)
倒格子原胞基矢为：
b1
2
(a2
a3)
2
a
(i
j
k)
原胞体积为
b2
有 k '2 (G k )2 0 G2 2k G （2.3.1）
因为 G 是一个倒格矢， G 也应是一个倒格矢，
用 G 替代 G ， 有 2k G G2
（2.3.2）
（2.3.2）式就是散射条件，它是布拉格定律的另一种表示 形式。
下面我们来说明它与布拉格定律是等价的： 由倒格子的性质我们已知，以密勒指数（hkl）为系数构成倒格矢
§2.3布里渊区（Brillouin zone）
一、劳厄衍射条件和布拉格定律等价 二、布里渊区散射条件和布里渊区（Brillouin zone）
1、布里渊散射条件（Brillouin’s diffraction condition ）
2、布里渊区（Brillouin zone） 3、布里渊区的性质（properties of Brillouin zone）
b1(h1 1, h2 1), b2(h1 1, h2 1)
通过这四个倒个是的中点，即
1 2
b1
1 2
b2
i
a
a
j
分别作四个垂直平分面，即可得到第二布里渊区的边界。
照此可以画出第二布区、第三布区等。如右图所示。 可以看出，布区的序号越大，分离的区域越多；但不论分离的区域数
目是多少，各布区的面积是相等的。
定义 g 2 p ，可以把方程（2.4.7）写成如下的形式
a
f (x) fg exp(igx) g
（2.4.8）
这里，g 可以看成是以 a 为周期的一维晶格的倒格矢。 （2.4.8）式就是三维情况下的普遍形式（2.4.4）在一维情况下的具 体表现形式。
O 点是倒空间的原点，考虑连接原点和任意一个倒格点的倒格 矢。作垂直平分线（三维情形将是垂直平分面），如果入射波 矢满足（2.3.2）式，将（2.3.2）式两边同除以4，散射条件 则可写成
k (1 G) (1 G)2
2
2
（2.3.3）
这就是布里渊的散射条件。
容易看出，任何连接原点和垂直平分面的波矢都满 足散射条件。
则三个倒格子基矢为：
b1
2
(a2
a3 )
2
a
(
j
k
)
b2
2
(a3
a1)
2
a
(k
i
)
倒格子原胞体积为
2
2
b3 (a1 a2 ) a (i j )
* b1 (b2 b3) 2(2 / a)3
。
可见，体心立方结构的倒格子是面心立方结构.
离原点最近的倒格点有12个，它们是：
2 i 2 j
1 ( 2 )3
2a
可见，这个截角以后的八面体是第一布里渊区，如图2.8所示。
图2.8 面心立方正格子的第一布里渊区
第一布里渊区种典型 对称点的坐标为：
: 2 (0, 0, 0)
a
X : 2 (1, 0, 0)
a
K : 2 (3 , 3 , 0)
a 44
L : 2 (1 , 1 , 1)
a 222
一、劳厄衍射条件和布拉格定律等价
我们再来看劳厄衍射条件 k R 2 m
或者 G R 2 m
提供相长干涉的散射波矢实际上就是一个倒格矢。
在实际应用中，用另外一种散射条件表示劳厄衍射条件会更
方便一些。在弹性散射中，光子的能量是守恒的， k 和 k’ 的大
小相等，且有，
k 2 k '2
由 k G
2、布里渊区
在图2.4所示的倒格子中，画出所有的倒格矢的垂直平分面， 可以得到倒格子的维格纳—赛茨（Wigner-Seitz）原胞，因为
W-S 原胞可以充分反映倒格子的宏观对称性，在固体物理学中 常采用W-S 原胞，而不是倒矢量 b为1,b边2,矢b3 量围成的平行六
面体作为倒格子的周期性结构单元。
二、结构基元的傅立叶分析
（Scattering from a lattice with basis）
三、原子形状因子（atomic form factor）
本节思路：在分析散射振幅的基础上，介绍原子的结构因子和形状因 子，给出几种晶体衍射消光的条件。
一、散射波振幅（Diffraction amplitude）
§2.3布里渊区（Brillouin zone）
一、劳厄衍射条件和布拉格定律等价 二、布里渊区散射条件和布里渊区（Brillouin zone）
1、布里渊散射条件（Brillouin’s diffraction condition ）
2、布里渊区（Brillouin zone） 3、布里渊区的性质（properties of Brillouin Zone）
展开为傅立叶级数 n(r ) nGeiGh r
Gh
（2.4.4）
其中 nG 是电荷密度的傅立叶分量，由傅立叶逆变换给出：
nG
1 V
V
dVn(r )eiGh r