微商.
特别注意：
(1)微分与导数虽然有着密切的联系,但它们是有区别的；
(2)导数是函数在一点处的变化率,而微分是函数在一点处由
自变量增量所引起的函数增量的主要部分； (3)导数的值只与 x 有关,而微分的值一般与x 和x 都有关. 例 2 求函数 y x2 1在 x=1,x=0.1 时的改变量 y和 dy.
A (x x)2 x 2 2x x (x)2
0
0
0
A 由两部分组成,第一部分是2x x 0
是x的线性函数,当x 0时,
x0 x
x0 x0
x
第二部分(x)2是比x 高阶的无穷小,
由此可见,如果边长改变很微小时,面积的改变量 A可近
似地用第一部分代替.
2 微分的概念
定义 如果函数 y f (x) 在点 x 处的改变量 y可以表示为
0
0
dy f (x)x
例 1 求 y x2在 x 1和 x 3处的微分
解 函数 y x2在 x 1处的微分为 dy (x2 ) x 2x
x1
函数 y x2在 x 3处的微分 dy (x2 ) x 6x
x3
3 可微的充要条件
定理 2 函数 y f (x) 在点 x 处可微的充要条件是 f (x) 在点 x 处可导,且
解 y f x x f x x x2 1 x2 1 2xx x2,
y x1 21 0.1 (0.1)2 0.21
x0.1
dy f xx x2 1x 2xx,
dy 21 0.1 0.2 x 1 x 0.1
4 复合函数的微分
复合函数的微分法则
设函数 y f (u),u (x)都可微,则复合函数 y f [ (x)]的微分为
dy sin 2xdx 1 cos 2xdx.
2x 解法二 由微分形式不变性,得
dy cos 2xd 2x cos 2x 1 d2x 1 cos( 2x)dx.
2 2x
2x
A f (x) . 由此可得
dy f xx.
当 y x 时,dy dx 1 x,即dx x,因此,微分通常写成：
dy f xdx.
两边同除以 dx ,有
dy f x.
dx 在导数中, dy 是一个完整的记号,表示函数 y 对 x 的导数,而现
dx
在可以看成函数的微分与自变量的微分的商,所以,导数又叫
dy f uxdx f xxdx .
由于du (x)dx ,所以,复合函数 y f [ (x)]的微分也可以写成：
dy f udu.
可见,无论 u 是自变量还是中间变量,这一性质称为微分形式不变性.
例 3 设 y sin 2x ,求 dy.
解法一 由公式dy ydx,得
§ 3.1导数与微分
三 微分
1 引例 2 微分的概念 3 可微的充要条件 4 复合函数的微分
1 引例
例 1 一块正方形金属薄片受温度的影响,其边长由 x 变到 0
x x,问此薄片的面积改变了多少？ 0 解 设此薄片的边长为 x,面积为 A,则 A x2
当自变量 x在 x 有增量x时, 0
相应的面积增量为
y Ax ox （x 0）, 其中, A是与x 无关的量,则称函数 y f (x) 在点 x 处可微,称
Ax为函数 y f (x) 在点 x 处的微分,记作 dy,即 dy Ax.
定理 1 函数 f (x)在点 x 可微的充分必要条件是 f (x)在点 0
x 可导,且当 f (x)在点 f (x)在点 x 可微时,其微分一定是