例1、 已知函数表求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。

解：（1）故所求二次拉格朗日插值多项式为（2）一阶均差、二阶均差分别为例2、 设2()32f x xx =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。

解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为01123126119234a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，经过消元得01231162110123a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 再回代解该方程，得到14a =，0116a =故，所求最佳平方逼近多项式为*111()46S x x =+例3、 设()xf x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。

解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，这样，有 所以，法方程为解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1⎰。

解：（1）用4n =的复合梯形公式由于2h =，()f x =()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式由于2h =，()f x =()121,2,3k x k k =+=，()12220,1,2,3k xk k +=+=，所以，有例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。

解：先消元再回代，得到33x =，22x =，11x =所以，线性方程组的解为11x =，22x =，33x =例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。

解： 设则由A LU =的对应元素相等，有1114u =，1215u =，1316u =， 2111211433l u l =⇒=，311131122l u l =⇒=，2112222211460l u u u +=⇒=-，2113232311545l u u u +=⇒=-，3112322232136l u l u l +=⇒=-，31133223333313215l u l u u u ++=⇒=因此，解Ly b =，即12310094108382361y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦，得19y =，24y =-，3154y =- 解Ux y =，即123111456911046045154130015x x x ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，得3177.69x =-，2476.92x =，1227.08x =- 所以，线性方程组的解为1227.08x =-，2476.92x =，3177.69x =-１、若A 是n n ⨯阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵U ，使LU A =唯一成立。

（ ）２、当8≥n 时，Newton －cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。

（ ）3、形如)()(1i ni i ba x f A dx x f ∑⎰=≈的高斯（Gauss ）型求积公式具有最高代数精确度的次数为12+n 。

（ ）４、矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210111012A 的２－范数2A ＝９。

（ ）5、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a A 000002，则对任意实数0≠a ，方程组b Ax =都是病态的。

（用∞⋅）（）6、设n n R A ⨯∈，nn RQ ⨯∈，且有I Q Q T=（单位阵），则有22QA A =。

（）7、区间[]b a ,上关于权函数)(x W 的直交多项式是存在的，且唯一。

（）1、（ Ⅹ ）2、（ ∨ ）3、（Ⅹ ）4、（ ∨ ）5、（Ⅹ ）6、（∨ ）7、（ Ⅹ ）8、（Ⅹ ）一、 判断题（10×1′）1、 若A 是n 阶非奇异矩阵，则线性方程组AX ＝b 一定可以使用高斯消元法求解。

(×)2、 解非线性方程f (x )=0的牛顿迭代法在单根x *附近是平方收敛的。

(?)3、 若A 为n 阶方阵，且其元素满足不等式则解线性方程组AX ＝b 的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。

(×) 4、 样条插值一种分段插值。

(?)5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。

(?)6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。

(?)7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX ＝b 。

(×)8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。

(×)9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。

(?)10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。

(×)1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。

（）2. 为了减少误差,应将表达式（对）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

（）4. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

（）复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。

答案：2.367，0.253、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有(2)位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是()；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f (1),=]4,3,2,1,0[f (0)；7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为(12+-n ab )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为(0.15)； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为(5)；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。

13、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。

14、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。

15、 计算积分⎰15.0d xx ,取4位有效数字。

用梯形公式计算求得的近似值为0.4268，用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为1，辛卜生公式的代数精度为3。

16、 求解方程组⎩⎨⎧=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x ，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M =121。

17、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿插值多项式为)1(716)(2-+=x x x x N 。

18、 求积公式⎰∑=≈bak nk k x f A x x f )(d )(0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(12+n )次代数精度。

19、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求⎰51d )(xx f ≈(12)。

20、 设f (1)=1，f (2)=2，f (3)=0，用三点式求≈')1(f (2.5)。

21、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（10）次。

23、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)((1)，∑==nk k jk x lx 0)((j x )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k (324++x x )。

26、改变函数f x x x ()=+-1(x >>1)的形式，使计算结果较精确()x x x f ++=11。

27、若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分10次。

29、若用复化梯形公式计算⎰10dxe x ，要求误差不超过610-，利用余项公式估计，至少用477个求积节点。

30、写出求解方程组⎩⎨⎧=+-=+24.016.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭代公式()()()() ,1,0,4.026.111112211=⎩⎨⎧+=-=+++k x x x x k k k k ，迭代矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--64.006.10，此迭代法是否收敛收敛。

31、设A =⎛⎝ ⎫⎭⎪5443,则=∞A 9。

32、设矩阵482257136A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的A LU =，则U =4820161002U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦。

33、若4321()f x xx =++，则差商2481632[,,,,]f =3。