在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．
如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．
以下给出两种证明
法一：构造角分线
先复习两个定理
（1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则AB:AC=DB:DC．
证明：利用等积法
，即AB:AC=DB:DC
（2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则AB:AC=DB:DC．
证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD△△AED（SAS），CD=ED且AD平分△BDE，则DB:DE=AB:AE，即AB:AC=DB:DC．
接下来开始证明：如图，PA：PB=k，作△APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA:MB=PA:PB=k，
故M 点为定点，即△APB 的角平分线交AB 于定点；
作△APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA:NB=PA:PB=k ，故N 点为定点，即△APB 外角平分线交直线AB 于定点；
又△MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．
中考专题训练 阿氏圆模型
阿氏圆（阿波罗尼斯圆）：
已知平面上两定点A 、B ，则所有满足
）
（1≠=k k PB
PA
的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆. 在初中的题目中往往利用逆向思维构造“斜A ”型相似（也叫“母子型相似”）＋两点间线段最短，解决带系数两线段之和．．．．．．．．
的最值问题. 观察下面的图形，当P 在⊙O 上运动时，用PA 、PB 的长在不断的发生变化，但PB
PA
的比值却始终保持不变.
解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法.
那么如何应用“阿氏圆”的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢？我们来看一道基本题目： 例.已知∠ACB=90°，CB=4，CA=6，∠C 半径为2，P 为圆上一动点.
（1）求BP AP 2
1
+的最小值为 . （2）求
BP AP +3
1
的最小值为 .
阿氏圆基本解法：构造相似
阿氏圆一般解题步骤：AP+k BP
第一步：连接动点和圆心C （将系数不为．．．．1．的线段．．．的两个端点分别与圆心相连接），即连接CP 、CB ； 第二步：计算这两条线段长度的比
）圆心到定点的距离半径
（k CB CP =；
第三步：在CB （即定边）上取点M ，使得
k CP
CM
= 第四步：连接 AM ，与圆C 交点即为点P ；
第五步：计算AM 的长度，即为AP+k BP 的最小值.
实战演练：
1.在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，且满足CD=2，则BD AD 3
2
+的最小值为 .
2.已知点A （4，0），B （4，4），点P 在半径为2的⊙O 上运动，则
BP AP +2
1
的最小值是 .
3.已知点A(-3，0)，B （0，3），C （1，0），若点P 为∠C 上一动点，且∠C 与y 轴相切. （1）求
BP AP +4
1
的最小值； （2）求△ABP 面积的最小值.
4.在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，2），C （4，0），D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则2PD+PC 的最小值是__________.
5.已知∠O 半径为1，AC 、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为弧AB 上一动点， 试求
PD PC +2
2
的最小值.
巩固练习：
1.如图，在∠ABC 中，∠B ﹦90°，AB ﹦CB ﹦2，以点B 为圆心作⊙B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则PC PA 2
2
+
的最小值是 ．
2. 如图，菱形ABCD 的边长为2，∠ABC=60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，求PD PB 2
3
+
的最小值.
3.（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上的一个动点，则PD+
2
1PC 的最小值 ；
（2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，⊙B 的半径为6，点P 是⊙B 上的一个动点，那么PD+
3
2PC 的最小值为 ；
（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，那么
PD+
2
1
PC 的最小值为 .
4.如图1，抛物线y=ax 2+(a +3)x +3(a ≠0)与x 轴交于点A(4，0)，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E(m ，0)(0<m<4)，过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM∠AB 于点M. （1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；
（2）设∠PMN 的周长为C 1，∠AEN 的周长为C 2，若
5
6
21 C C ，求m 的值； （3）如图2，在(2)条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°<α<90°)，连接E′A 、
E′B ，求E′A+3
2
E′B 的最小值.
问题提出：如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,CB=4,CA=6,C半径为2,P为圆上一动点,连结AP、BP,求AP+1/2BP的最小值。

(1)尝试解决：为了解决这个问题,下面给出一种解题思路：如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1,则有CD/CP=CP/CB=1/2,又∵∠PCD=∠BCP,∴△PCD∽△BCP.∴PD/BP=1/2,∴PD=1/2BP,
∴AP+1/2BP=AP+PD.
请你完成余下的思考,并直接写出答案：AP+1/2BP的最小值为___.
(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下,1/3AP+BP的最小值为___.
(3)拓展延伸：已知扇形COD中,∠COD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,点P是CDˆ上一点，求2PA+PB 的最小值。

反过来还原:
如图，点A，B在⊙O上，OA=OB=12且OA⊥OB点C是OA的中点，点D在OB上且OD=10，动点P在⊙O上，则PC+ 1/2 PD的最小值是多少？
如下图所示，在OA延长线上取点E，使得AE=OA
连接OP，PE。

因为OC/OP=1/2=OP/OE
从而△OCP∽△OPE（SAS）
从而，PC/EP=1/2，即PE=2PC
那么，PE+PD=2PC+PD=2（PC+1/2PD）
那么只要求出PE+PD 最小值，再除以2 即可得到所求问题的解。

很显然，当P点落在DE连线与圆O的交点P' 上时，
PE+PD取得最小值。

此时，PE+PD=DE=√（OD^2+OE^2）=√（10^2+24^2）=26那么，PC+1/2PD 的最小值即为26/2=13。

(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD+1/2PC 的最小值和PC−1/2PC的最大值；
(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点,那么
PD+2/3PC的最小值为___,PD−2/3PC的最大值为___.
(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60°,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,那么PD+1/2PC的最小值为___,PD−1/2PC的最大值为___.
如图,△ABC是等腰三角形,∠C=900,○C与AB边相切,P是圆C上一动点,若圆C的半径为2。