3．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示， 为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块 玻璃片应该是( B ) A．① B．② C．③ D．④
4．如图，点 A，B，C 在同一条直线上，点 D 在直线 AB 外，过 这 4 个点中的任意 3 个点，能画圆的个数是( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
7．(2019·遂宁)如图，△ABC 内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O 的
半径 r＝4，则阴影部分的面积为( A )
A．4π－8 B．2π
C．4π
D．8π－8
8．(2020·陕西)如图，△ABC 内接于⊙O，∠A＝50°.E 是边 BC 的中点，连接 OE 并延长，交⊙O 于点 D，连接 BD，则∠D 的大小为( ) A．55° B．65° C．60° D．75°
⊙O 的半径为 5，若点 P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB
＝AB，则 PA 的长为( )
A．5 C．5 2
53 B. 2 D．5 3
【点拨】如图，连接 OA，OB，OB 交 AP 于点 D. ∵PB＝AB，∴P︵B＝A︵B.∴OB⊥AP，AD＝PD. ∵∠C＝30°，∴∠AOB＝60°. 在 Rt△AOD 中，AD＝sin 60°·OA＝ 23×5＝523， ∴PA＝2PD＝5 3.
∴△BOC 是等腰直角三角形．∴BC＝ 2OB＝5 2. 【答案】5 3或 5 2
13．(2019·荆门)如图，已知锐角△ABC 的外接圆圆心为 O，半 径为 R.
(1)求证：siAnCB＝2R.
证明：如图，连接 AO 并延长，交⊙O 于点 D，连接 CD， 则∠ACD＝90°，∠B＝∠D. ∵sin B＝sin D＝AADC＝A2RC， ∴siAnCB＝2R.
(1)求证：BD＝CD； 证明：∵AD 为△ABC 外接圆的直径，AD⊥BC， ∴B︵D＝C︵D. ∴BD＝CD.
(2)请判断 B，E，C 三点是否在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆 上，并说明理由．
解：B，E，C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上． 理由如下： 由(1)知B︵D＝C︵D，∴∠BAD＝∠CBD. ∵BE 平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE.
A．淇淇说的对，且∠A 的另一个值是 115° B．淇淇说的不对，∠A 就得 65° C．嘉嘉求的结果不对，∠A 应得 50° D．两人都不对，∠A 应有 3 个不同值
【点拨】如图所示，∠A 还应有另一个不同的值，∠A′与∠A 互 补，故∠A′＝180°－65°＝115°.应选 A.
【答案】A
*10.(中考·陕西)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C＝30°，
【答案】D
11．(2020·泰安)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB＝BC，
∠BAC＝30°，AD 是直径，AD＝8，则 AC 的长为( )
A．4 C.83 3
B．4 3 D．2 3
【点拨】如图，连接 CD. ∵AB＝BC，∠BAC＝30°， ∴∠ACB＝∠BAC＝30°. ∴∠B＝180°－30°－30°＝120°.∴∠D＝180°－∠B＝60°. ∵AD 是直径，∴∠ACD＝90°. ∴∠CAD＝30°.∵AD＝8， ∴CD＝12AD＝4.∴AC＝ AD2－CD2＝ 82－42＝4 3. 【答案】B
又∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE， ∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE. 由(1)知 BD＝CD，∴DB＝DE＝DC. ∴B，E，C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上．
15．(中考·温州)如图，D 是△ABC 的 BC 边上一点，连接 AD， 作△ABD 的外接圆，将△ADC 沿直线 AD 折叠，点 C 的对 应点 E 落在B︵D上．
(1)求证：AE＝AB；
证明：由题意得△ADE≌△ADC， ∴∠AED＝∠ACD，AE＝AC. ∵∠ABD＝∠AED，∴∠ABD＝∠ACD. ∴AB＝AC.∴AE＝AB.
(2)若∠CAB＝90°，cos∠ADB＝13，BE＝2，求 BC 的长．
解：如图，过点 A 作 AH⊥BE 于点 H. ∵AB＝AE，BE＝2，∴BH＝EH＝1. 易知∠ABE＝∠AEB＝∠ADB， ∴cos∠ABE＝cos∠ADB＝13.∴BAHB ＝13，∴AB＝3.∴AC＝AB＝3. 在 Rt△ABC 中，BC＝ AC2＋AB2＝ 32＋32＝3 2.
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设△ABC 的外接圆圆心为 M，连接 BM. ∵线段 AC 的垂直平分线为直线 y＝－x，线段 AB 的垂直平分线 为直线 x＝1，∴点 M 为直线 y＝－x 与直线 x＝1 的交点，即 M(1，－1)．∴MB＝ （3－1）2＋12＝ 5.∴MQ＝MB＝ 5. ∴yQ＝－(1＋ 5)＝－1－ 5. ∵点 Q 在直线 x＝1 上，∴xQ＝1.∴Q(1，－1－ 5)．
*12.(2019·绥化)半径为 5 的⊙O 是锐角三角形 ABC 的外接圆， AB＝AC，连接 OB，OC，延长 CO 交弦 AB 于点 D，若△OBD 是直角三角形，则弦 BC 的长为________．
【点拨】如图①，当∠ODB＝90°，即 CD⊥AB 时， 可得 AD＝BD，∴AC＝BC. 又∵AB＝AC， ∴△ABC 是等边三角形．∴∠DBO＝30°. ∵OB＝5，∴BD＝ 23OB＝523.∴BC＝AB＝2BD＝5 3. 如图②，当∠DOB＝90°时，可得∠BOC＝90°，
∴PD＝－13x2＋23x＋1－－13x＋1＝－13x2＋x. ∴S△PBC＝S△PDC＋S△PDB＝12PD(xB－xC) ＝12－13x2＋x(3－0)＝－12x2＋32x. 又∵S△PBC＝1，∴－12x2＋32x＝1，解得 x1＝1，x2＝2. ∴点 P 的坐标为1，43或(2，1)．
(3)在 x 轴下方且在抛物线的对称轴上，是否存在一点 Q，使 ∠BQC＝∠BAC？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，说 明理由．
∴抛物线的函数表达式为 y＝－13x2＋23x＋1.
(2)在直线 BC 上方的抛物线上求一点 P，使△PBC 的面积为 1.
解：∵B(3，0)，C(0，1)， ∴直线 BC 的函数表达式为 y＝－13x＋1. 如图，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，交 BC 于 D. 设 Px，－13x2＋23x＋1，则 D(x，－13x＋1)．
【点拨】如图，连接 CD. ∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°－∠A＝130°. ∵E 是边 BC 的中点，∴OD⊥BC.∴BD＝CD. ∴∠ODB＝∠ODC＝12∠BDC＝65°.
【答案】B
9．(2020·河北)有一题目：“已知：点 O 为△ABC 的外心，∠BOC ＝130°，求∠A.”嘉嘉的解答为：画△ABC 以及它的外接圆 ⊙O，连接 OB，OC.如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A ＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全， ∠A 还应有另一个不同的值．” 下列判断正确的是( )
16．如图，已知点 A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)在抛物线 y＝ax2 ＋bx＋c 上．
(1)求抛物线的函数表达式．
解：把点 A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)的坐标分别代入 y＝ax2
a－b＋c＝0，
a＝－13，
＋bx＋c，得9c＝a＋1，3b＋c＝0，解得bc＝＝123.，
5．若 AB＝4 cm，则过点 A，B 且半径为 3 cm 的圆有( B ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
6．三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的 _外__接__圆___，外接圆的圆心是三角形三边__垂__直__平__分__线________ 的交点，叫做三角形的__外__心________________．
(2)若△ABC 中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝ 3，求 BC 的长及 sin
C 的值． 解：由(1)易得sAinCB＝sin A∠BACB＝sin B∠CBAC＝2R， ∴2R＝sin 630°＝2. ∴BC＝2R·sin ∠BAC＝2sin 45°＝ 2.
如图，作 CE⊥AB 于点 E，
∴BE＝BC·Байду номын сангаасos B＝
2cos
60°＝
2， 2
AE＝AC·cos∠BAC＝
3cos
45°＝
6 2.
∴AB＝AE＋BE＝
6＋ 2
2 .
∴sin
∠ACB＝A2RB＝
6＋ 4
2 .
14．如图，AD 为△ABC 外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点 F， ∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，连接 BD，CD.
第三章 圆
5 确定圆的条件
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1 见习题 2 D
3B
4C
答案显示
5B
6 见习题 7 A
8B
9A
10 D
11 B 12 5 3或 5 2 13 见习题 14 见习题 15 见习题
16 见习题
1．__不__在__同__一__条__直__线__上_____的三个点确定一个圆．
2．A，B，C 为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则( D ) A．可以画一个圆，使 A，B，C 都在圆上 B．可以画一个圆，使 A，B 在圆上，C 在圆内 C．可以画一个圆，使 A，C 在圆上，B 在圆外 D．可以画一个圆，使 A，C 在圆上，B 在圆内
【思路点拨】作△ABC 的外接圆，此圆与对称轴在 x 轴下方的 交点 Q 即为所求．
解：存在． ∵A(－1，0)，C(0，1)， ∴OC＝OA＝1，∴∠BAC＝45°. ∵∠BAC＝∠BQC，∴∠BQC＝45°. ∴点 Q 为△ABC 外接圆与抛物线的对称轴在 x 轴下方的交点． 作出△ABC 的外接圆，如图．