习题 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件：
(1) f cos2 2f ；
(2) a f a；
(3) exp a f 2
解：根据功率谱密度 P(f)的性质：①P(f) 0 ，非负性；②P(-f)=P(f) ，偶函
数。可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。
习题 试求 X(t)=A cost 的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。
(1) 输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。
解：(1)LC 低通滤波器的系统函数为
2
H(f)= j2 fC
1
2 j2 fL 1 4 2 f 2LC
j2 fC
L C
图 2-4LC 低通滤波器
。
输出过程的功率谱密度为
P0 ()
Pi ()
H ()
2
n0 2
1 1 2LC
对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为 R ( ) Cn0 exp( C )
k e-k 2
，k 为常数。
(1)试求其功率谱密度函数 Pn f 和功率 P；(2)画出 Rn 和 Pn f 的曲线。
解：(1) Pn ( f )
Rn
(
)e
j
d
k ek e j d 2
k2
k2 (2
f
)2
P Rn 0 k 2 (2) Rn ( ) 和 Pn f 的曲线如图 2-2 所示。
*
104 f 2, 10 kHZ f 10 kHZ
PX ( f )
0,其它
(1)试画出自相关函数 RX ( ) 的曲线；(2)试求出 X(t)的功率谱密度 PX ( f ) 和功率 P。
1 ,
解：(1) Rx 1
0,
其波形如图 2-1 所示。
\
1 0 0 1 其它
Rx
12
1
0
布，其概率分布函数 px
1 2
exp
z2 2 2
。
(3) R X t1,t2 EX t1 X t2 E(x1 cos 2t1 x2 sin 2t1)x1 cos 2t2 x2 sin 2t2
2 cos 2t1 cos 2t2 sin 2t1 sin 2t2
]
2 cos 2 t2 t1
1
~
图 2-1 信号波形图
(2)因为 X (t) 广义平稳，所以其功率谱密度 PX RX 。由图 2-8 可见，RX
的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此
Px
1 2
0
0
1 2
Sa 2
2
1
1 4
Sa
2
0 2
Sa 2
0 2
P 1
2
Px
d
1 2
,
或S
Rx
PX ( f )
0,其它
解： P
P
X
(
f
)df
2
10 10*103 4
0
f
2df
2 *104 * f 3 3
104 0
2 3
*108
)
习题
设输入信号
x(t)
et
/
,
t
0
，将它加到由电阻 R 和电容 C 组成的高通滤
0,t 0
波器（见图 2-3）上，RC＝ 。试求其输出信号 y(t)的能量谱密度。
R 1 )(1
1
)
j2 fC j2 f
习题 设有一周期信号 x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为
y(t)= dx(t) / dt 式中， 为常数。试求该线性系统的传输函数 H(f).
解 ： 输 出 信 号 的 傅 里 叶 变 换 为 Y(f)= * j2 f * X ( f ) , 所 以
Rn
k2
》 Pn f
1
0
0
图 2-2
f
?
习题 已知一平稳随机过程 X(t)的自相关函数是以 2 为周期的周期性函数：
R( ) 1 , 1 1 试求 X(t)的功率谱密度 PX ( f ) 并画出其曲线。
解：详见例 2-12
习题 已知一信号 x(t)的双边功率谱密度为
试求其平均功率。
104 f 2, 10 kHZ f 10 kHZ
由 E[Z (t)] =0； E[Z 2 (t)] 2 又因为 Z (t) 是高斯分布
可得 D[Z (t)] 2
f [Z (t)]
1 2
exp(
z2 2 2
)
(3)
B(t1, t2 ) R(t1, t2 ) E[Z (t1)]E[Z (t2 )] R(t1,t2 ) E[( X1 cos w0t1 X 2 sin w0t1)( X1 cos w0t2 X 2 sin w0t2 )]
E[Z (t)] E[m(t) cos(w0t )] E[m(t)]E[cos(w0t )]
[ 1
2
2 0
cos(w0t
E[ X1X 2 ] 0
E[Z
2
(t)]
E[
X
2 1
cos2
w0t
X
2 2
sin 2
w0t ]
cos2
w0tE[
X
2 1
]
sin
2
w0tE[
X
2 2
]
又
E[
X1]
0
;
D(
X1)
E[
X
2 1
]
E[
X
2 2
]
2
E[
X
2 1
]
2
同理 E[ X 22 ] 2
/
代入可得 E[Z 2 (t)] 2
（2）
0
4L
L
(2) 输出亦是高斯过程，因此
2
R0 (0)
R0 ()
R0 (0)
Cn0 4L
习题若通过图 2-7 中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为 0、双边功率
谱密度为 n0 的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。 2
解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由题可知 E(y(t))=0 ,
H(f)=Y(f)/X(f)=j 2 f
习题 设有一个 RC 低通滤波器如图 2-7 所示。当输入一个均值为 0、双边功率
谱密度为 n0 的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。 2
解：参考例 2-10
%
习题 设有一个 LC 低通滤波器如图 2-4 所示。若输入信号是一个均值为 0、双
边功率谱密度为 n0 的高斯白噪声时，试求 2
解： (t,t+ )=E[X(t)X(t+ )]=E[ X1(t) X 2 (t) X1(t ) X 2 (t ) ]
= E X1(t)X1(t ) E X2(t)X2(t ) = R R X1( ) X2 ( )
习题 关函数为
设随机过程 X(t)=m(t) cost ，其中 m(t)是广义平稳随机过程，且其自相
解：高通滤波器的系统函数为
H(f)= X (t) 2cos(2t ), t
输入信号的傅里叶变换为
!
X(f)= 1 1 j2 f 1 j2 f
输出信号 y(t)的能量谱密度为
C R
图 2-3RC 高通滤波器
Gy ( f ) Y ( f ) 2 X ( f )H ( f ) 2 (R
2
(t
)
dt
2 cos(2 ) e j2t e j2t
P( f )
RX
(
)e
j
2
f
d
(e
j
2
t
e j2t )e j2 f d
( f 1) ( f 1)
@
习题 设有一信号可表示为：
4 exp(t) ,t 0 X (t) {
0, t<0
试问它是功率信号还是能量信号并求出其功率谱密度或能量谱密度。
2 y
R0 (0)
n0 4RC
所以输出噪声的概率密度函数
"
py (x)
1 exp( 2x2RC )
n0
n0
2RC
习题设随机过程 (t) 可表示成 (t) 2cos(2t ) ，式中 是一个离散随变量，且
p( 0) 1/ 2、p( / 2) 1/ 2 ，试求 E[ (1)] 及 R (0,1) 。
解：
因 X (t) 与Y (t) 是统计独立，故 E[XY ] E[X ]E[Y ]
RZ ( ) E[Z(t)Z(t )] E[X (t)Y (t)X (t )Y (t )] E[ X (t) X (t )]E[Y (t)Y (t )] RX ( )RY ( )
习题若随机过程 Z (t) m(t) cos(w0t ) ，其中 m(t) 是宽平稳随机过程，且自相关函数
E[(
X12
cos
w0t1
cos
w0t2
X
2 2
sin
w0t1
sin
w0t2
)]
2 cos w0 (t1 t2 ) 2 cos w0
！
令 t1 t2
习题求乘积 Z(t) X (t)Y (t) 的自相关函数。已知 X (t) 与Y (t) 是统计独立的平稳随
机过程，且它们的自相关函数分别为 Rx ( ) 、 Ry ( ) 。
0
1 2
习题设信号 x(t)的傅立叶变换为 X(f) = sin f 。试求此信号的自相关函数 f
。
解：x(t)的能量谱密度为 G(f)= X ( f ) 2 = sin f 2 f
1 ,