A
M x [解] 由式 y x H

ql 2
ql 2
先列出简支梁的弯矩方程
q M x x l x 2
拱的推力为：
MC ql 2 H f 8f
注意
*合理轴线对应的是
一组固定荷载； *合理轴线是一组。
所以拱的合理轴线方程为：
q 8f 4f y x x l x 2 2 x l x 2 ql l
绘制内力图
0
y
13.300 10.958 9.015 7.749 7.500 7.433 3.325 6.796 11.235 11.665 11.700 1.421 3.331 1.060 0.600 1.000 0.472 0.003 0.354
0.600
0.000
A
1
1.125 1.500 1.125 0.000 0.375 4.500 0.375
B 1 1 2 2 B B
a1
b1
c
y f l2
b2 P2
HB
HA
MB 0
A
1 1
2 2
A
A
x
VA
l1
A
B
l
P1 P2
VB
P1
d c f
c
VA
H
x
VB
l1
VA
M 0 荷载与跨度一定 V l P d H f 0 时，水平推力与 M 矢高成反比 M H f 0 H
y0
d q dS 2 N sin 0 2 N qR
q Rd N d 0
R N q
因N为一常数，q也为一常数，所以任一点的曲率半径R也是常数，即拱轴为园弧。
三、按几何组成分类
简单桁架 （simple truss）
先组成三角形，再由 加二元体组成
联合桁架 （combined truss）
由几个简单桁架通过 二、三刚片规则组成
复杂桁架 （complicated truss）
四、按受力特点分类：
1. 梁式桁架
2. 拱式桁架 竖向荷载下将 产生水平反力
结点法（nodal analysis method）
桁架结构的分类：
一、根据维数分类 1. 平面（二维）桁架（plane truss） ——所有组成桁架的杆件以及荷载的作用线都在同一 平面内
2. 空间（三维）桁架（space truss） ——组成桁架的杆件不都在同一平面内
二、按外型分类 1. 平行弦桁架 2. 三角形桁架
3. 抛物线桁架
4. 梯形桁架
0
-33 -8
-33
34.8 19
19
0
-33 -8
-33
34.8 19
-5.4 37.5 19
-8 kN
YDE CD 0.75 X DE CE 0.5
0
-33 -8
-33
-33 -8
-33
34.8 19
-5.4 -5.4 37.5
34.8 19
小结：
以结点作为平衡对象，结点承受汇交力系作用。 按与“组成顺序相反”的原则，逐次建立各结点的
26983 11kN 12 2 6 38 9 VB VB 9 kN 12
y2
4f 44 x l x 312 3 3m 2 2 l 12
dy dx
x 3
MC 11 6 2 6 3 H 7.5kN f 4
桁架结构（truss structure）
横梁
主桁架
纵梁
弦杆 下弦杆
上弦杆
斜杆
竖杆
腹杆 桁高
d 节间 跨度
经抽象简化后，杆轴交于一点，且“只受结点荷载
作用的直杆、铰结体系”的工程结构. 特性：只有轴力，而没有弯矩和剪力。轴力又称为 主内力（primary internal forces）。
法
截取桁架的某一局部作为隔离体，由平面任意力系的 平衡方程即可求得未知的轴力。
对于平面桁架，由于平面任意力系的独立平衡方程数 为3，因此所截断的杆件数一般不宜超过3
试用截面法求图示桁架指定杆件的内力。
n m 1 3 A FP 4 2 n m B FP FP FP FP 6m
2.5FP
6 5m
FN1 =-3.75FP FN4=0.65FP FN2 =3.33FP FN3 =-0.50FP
结点单杆
零内力杆简称零杆（zero bar）
N1 N2
N2
N1
N1 0
N3
N2 0
N1
N2
N1 N 2 N 3 0 N1


N1 P
P
N2N2 0N 源自 N1判断结构中的零杆
FP FP FP/2
FP/ 2
FP
D
C
7
10
4
1 C
8
5 9 11 6
2
A B
3
A
B
截
面
P P k 。
A
RA

B
RB
RB
。 k P P 简单桁架——一般采用结点法计算； 联合桁架——一般采用截面法计算。
例1、求图示平面桁架结构中指定杆件的内力。 1‘ 2‘ 3‘ 4‘ e c d a
A
1
b 2 3 4 5 P P P 6d
4 d d 3
B
VA 1.5P
VB 1.5P
例 1、三铰拱及其所受荷载如图所 示拱的轴线为抛物线方程
f=4m
2 y2 x
4f y 2 x l x l
制内力图。
计算反力并绘
7.5kN
A
B
H 7.5kN VB 9kN
x2=3m VA 11kN
3m 6m 6m
（1）计算支座反力
VA VA
（2）内力计算
以截面2为例
平衡方程，则桁架各结点未知内力数目一定不超过
独立平衡方程数。
由结点平衡方程可求得桁架各杆内力。
利用结点单杆的概念，根据荷载状况可 结点平面汇交力系中，除某一杆件外，其它所有待求内力的杆件均 判断此杆内力是否为零。
共线时，则此杆件称为该结点的结点单杆（nodal single bar） 。 结点单杆的内力可直接根据静力平衡条件求出。
桁架结构
2
桁架的特点和组成分类
桁架是由链杆组成的格构体系，当荷载仅作用在结点上时，杆 件仅承受轴向力，截面上只有均匀分布的正应力，是最理想的 一种结构形式。
理想桁架：
（1）桁架的结点都是光滑无摩擦的铰结点；
（2）各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心； （3）荷载和支座反力都作用在结点上
桁架内力分析
VB 1.5P
k
(3) N d N e
M
Ye
k 5 P
0
Xe
4‘
N d P 2d 2d 1.5P 2d 0
N d 0.25P
Nd
4
M
4
0
10 3 Xe 10 P 3 4
B
2d
X e 2.25P
Ne
1 .5 P 2d
联
合
法
凡需同时应用结点法和截面法才能确 定杆件内力时，统称为联合法 （combined method）。
拱的有关名称
平拱
拱肋 拱趾铰 顶铰 拱肋 拱趾铰 矢高
跨度
斜拱
拉杆拱
拱的有关名称
三铰拱
静定拱
两铰拱
超静定拱
超静定拱
无铰拱
三铰拱的支座反力和内力
一、支座反力
d P1 a2
D
与同跨度同荷载对应简支梁比较
MA 0 1 三铰拱的反力只 V Pa P a V V l 与荷载及三个铰 1 V Pb P b V V 的位置有关，与 l 拱轴线形状无关 x 0 H H H
试求图示K式桁架指定杆1、2、3的轴力
ED杆内力如何求?
小结：
熟练掌握 计算桁架内力的基 本方法： 结点法和截面法 采取最简捷的途径计算桁架 内力
拱(arch)
一、简介 杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。 FP
拱--杆轴线为曲
线，在竖向荷载 作用下会产生水 平推力的结构。
曲梁
三铰拱
2.5FP
截面单杆 截面法取出的隔离体， 不管其上有几个轴力，如果某 杆的轴力可以通过列一个平衡 方程求得，则此杆称为截面单 杆。 可能的截面单杆通常有相交型 和平行型两种形式。
相 交 情 况
FP FP FP FP FP FP
a 为 截 面 单 杆
FP
平行情况
FP
b为截面单杆
用截面法灵活截取隔离体
C
1 A 1
C
C
f
二、内力计算 以截面D为例
P1
x-a1
Qo
截面内弯矩要和竖向力及水平力对D点构成
M
H
y
的力矩相平衡，设使下面的纤维受拉为正。
D H x
MD 0
M VA x P 1 x a1 H y
Ｑo

VA
M M H y
Q
o
P1
2
y2
q=2kN .m
6m x 6m
B
3
2
4 5 6 7 8
P=8kN
0.00 0
M图 kN.m
N图 kN
Q图 kN
拱的合理轴线
在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理轴线。 由上述可知，按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。 从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。