3
得 y =A sin(
x +
)的图象⎯
向
⎯上平
(
⎯
移
k
k
⎯
个
)或
单
向⎯
位
下长
⎯
(k
度
⎯)
→ 得 y = A sin(x +
)+k 的图象．
y = sin x
纵坐标不变
横坐标向左平移 π/3 个单位 纵
坐标不变 横坐标缩短 为原来的1/2
y = sin(x + )
y = sin(2 x + )
横坐标不变
纵坐标伸长为原 来的3倍
先伸缩后平移
纵坐标伸长(A 1)或缩短(0A 1)
y =sin x 的图象 ⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
y = 3sin(2x +
三角函数图象的平移和伸缩
函数y = A sin(x +
) + k 的图象与函数 y = sin x 的图象之间可以通过变化 A ，
，
，k 来相互转 化． A ，影响图象的形状，
，k 影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由
引起的变 换称周期变
换，它们都是伸缩变换；由
引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都 是平移变换．
既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 向左(
>0)或向右(
0)
y = sin x 的图象
⎯⎯平
⎯
移
⎯
个单
⎯
位长
⎯
度
⎯→
得 y = sin(x +)的图象
横坐标伸长(0<<1)或缩短
(>1)
到原来的1(纵坐标不变)
得 y = sin(x +)的图象 纵坐标伸长(A 1)或缩短(0<A <1) 为原来的A 倍(横坐标不变)
横坐标伸长(0
1)或缩短(1)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 到原来的
1
(纵坐标不变)
向左(
0)或向右(
0)
得 y = A sin(x ) 的图象 ⎯⎯⎯平移
⎯个
⎯
单位
⎯⎯→
得 y = A sin x (
x +
)的图象⎯⎯平
⎯移
k ⎯个单
⎯位长
⎯度
⎯→得 y = A sin(
x +)+k 的图象．
纵坐标不变 y = sin x
横坐标缩短 为原来的1/2 纵坐标不变 横坐标
向左平移 π/6 个单位
横坐标不变
y = 3sin(2x + )
纵坐标伸长为原 3
来的3倍
例1 将y = sin x 的图象怎样变换得到函数y = 2sin
2x + π
+1的图象．
解：(方法一)①把y = sin x 的图象沿x 轴向左平移π个单位长度，得y = sin x + π
的图象；②将所得 图象的
横坐标缩小到原来的1，得y =sin
2x +π
的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得 y = 2sin
2x + π
的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin
2x + π
+1的图象．
方法二)①把y = sin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y = 2sin x 的图象；②将所得图象的横坐
标缩小到原来的1 ，得y = 2sin2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π个单位长度得y = 2sin2
x + π
的
2 8 8 图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin
2x + π
+1的图象．
得 y = A sin x 的图象
y = sin2 x
y = sin(2x + )
说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由y =sin2x 的图象向左平移8π个单位长度得到的函数图象 的解析式是y = sin 2 x + π 而不是y = sin 2x + π ，把y = sin x + π 的图象的横坐标缩小到原来的1 ，得到 的函数图象的解析式是y = sin 2x + π 而不是y = sin 2 x + π ．
对于复杂的变换，可引进参数求解．
例2 将y =sin2x 的图象怎样变换得到函数 y = cos 2x - π
的图象．
分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．
=cos 2x -2a - π = cos 2 -2 - 2
根据题意，有 2 x - 2a - π = 2 x - π ，得 a =-π ．
24 8 所以将y = sin 2x 的图象向左平移π 个单位长度可得到函数y = cos 2x - π 的图象．
解： 有y = cos
2( x - a ) - π y = sin2 x = cos
在y =
中以 x - a 代 x ，。