sin x x ( x4 1) dx
仿前例，先算 Q
x
(
ei x4
x
1)
等价定义：
def
Res f ()
1
f (z)dz (r )
2 i |z|
r 0
• 若 f(z) 是偶函数，则 Res f (), Res f (0) 有定义时必为零
5
➢全平面留数之和为零
设函数 f (z) 在整个复平面上只有奇点 b1, b2, …, bn，则 f (z) 在这些点及 的留数之和为零
R
f ( x)dx f (z)dz 2 i Resf (i)
R
R
极限 Q
极限 i 0
18
(4) 计算留数
Q 2 i Resf (i)
f (z) (z2 1)1
2
i
(z2
1
1)
|z i
***留数定理计算实轴积分的标准步骤***
19
例2：计算积分
1 0 x4 a4 dx
解：
b0
错误解法：选
f
(z)
cos z z2 b2
R
R
f ( x)dx f (z)dz 2 i Resf (bi)
R
R
ΓR
bi
R
cos x
cos z
R→+∞
x2
b2 dx
2 i Res z b i
z2
b2
原因：在上半平面不存在极限 lim [z f (z)] z 不能用大圆弧引理计算 lim f (z)dz R R
ΓR
b1 b0
-R
b2
R
b3
f (z) (z4 a4 )1
1
Q 2
0 x4 a4 dx 2 4a 3
21
• 扇形围线计算
Q
f (x)dx,
f ( x) g( xn ) (n 1)
0
有理函数 g(x) 在正实轴上无奇点
f (r e2 i / n ) f (r)
f (z)dz e2 i/n f ( x)dx
px
dx
P( x) ei p x dx
Q(x)
P(x), Q(x) 是实系数多项式，p>0
z
2
三角函数有理式的积分 R(cos , sin )d 0
0
1
16
1. 全实轴上无奇点的反常积分
大圆弧引理：设在圆弧 Sa,R : z a R e i (1 2 )
上 f(z) 连续， 在扇形 1 Arg (z a) 2 内
Resg(z) lim[z g(z)] 1
z0
z0
10
➢小定理
设 (z), (z) 在 b 点解析，(b) 0, (b) 0,
则
( z ) Res z b (z)
(z) ( z )
|z b
证明：计算 Q lim [(z b) (z) ]
z b
(z)
Q lim
( z )
(b)
z b [(z) (b)]/( z b) (b)
23
正确解法：欧拉公式 cos x Re ei x
cos x
exp( i x)
x2 b2 dx Re x2 b2 dx
ΓR
计算积分
Q
exp(i x) x2 b2 dx
(1) 选复变函数
f (z)
eiz z2 b2
bi
R
R
在上半平面， Im z 0, | ei z | eImz 1
lim [z f (z)] 0 大圆弧引理成立 z
24
(2) 选围线，应用留数定理； (3) 取极限 R→+∞
R
f ( x)dx f (z)dz 2 i Resf (b i)
R
R
极限 Q
极限 i 0
ΓR
(4) 计算留数
bi
Q 2i Res f (bi)
eiz 2 i (z2 b2 )
c1
在 a 的某去心邻域上被积函数有洛朗展开：
f (z)
(z) (z a)n
p
cp
(z a)p
(k)(a)(z a)kn k0 k!
柯西公式给出了围线环绕单个极点的积分
e1/ zdz ? |z|1
2
§5.1 留数定理
1. 孤立奇点 b≠∞ 处的留数
洛朗展开 f (z) ck (z b)k , 0 | z b | R k
dx 0 x4 a4
1 2
dx x4 a4
半实轴 全实轴
计算积分
Q lim R
R dx R x4 a4
(a 0)
b1
-R
b2
ΓR
b0
R
b3
(1) 选复变函数
1 f (z) z4 a4 ,
lim[z f (z)] 0 z
大圆弧引理成立
奇点 bk a e i(2k)/ 4 (k 0,1,2,3)
0,
n偶
7
➢ 计算极点 b≠∞ 处的留数
1 阶极点或可去奇点 Res f (b) lim [(z b) f (z)]; z b
极点的阶 m Res f (b) lim [(z b)m f (z)](m1)
z b
(m 1)!
证明：(z) (z b)m f (z) 在 b 点解析；
t2
∞是可去奇点 Res f (z) lim [z f () z f (z)]
z
z
证明：z R ei , t R1 ei , ,
f (z) dz f (R ei ) i R eid
|z| R
|t|1/ R
f
(t
1
)
dt t2
f (R ei ) i R eid
13
20
(2) 选围线，应用留数定理； (3) 取极限 R→+∞
R
f (x)dx R
R f (z)dz 2 i [Resf (b0 ) Resf (b1 )]
极限 Q
极限 i 0
(4) 计算留数
Res
z bk
f (z)
1 4bk3
bk 4a 4
Q
2
i
(b0 4a 4
b1 )
2
2a 3
ez lim
1 1
z0 z
z0 z
lim
z0
g(z)
lim
z0
(e
z
z
sin z 1)3
/ /
z3 z3
lim( sin z / z) lim z1
z0
z0
{lim[(ez 1) / z]}3
z0
z2 sin z / z3
lim[z
z0
g(z)]
lim
z0
(e z
1)3
/
z3
1
z=0 是 1 阶极点
Res t 0 (t
2
t 15 t 2 1)2 (t 4
2)3
1
Res t0 t
(t 2
1)2 (2 t 4
1)3
1
(一阶极点)
Q 2 i
15
§5.2 利用留数理论计算实积分
三种常见类型： P(x)
dx,
Q( x)
b1 b2
ΓR
R a1
a2
R
P( x) cos px
Q( x)
sin
(z–b)−1 的系数 c–1 称为 f(z) 在 z=b 处的留数，
记为 Res f (z) 或 Res f (b) z b
等价定义：
def 1
Res f (b)
f (z)dz ( R)
2 i |zb|
ρR b
3
➢留数定理
设函数 f (z) 在围线 L 及其内部区域除有限个奇点
n
b1, b2, …, bn 外解析，则 L f (z)dz 2i Res f (bk ) k 1
za
极点 z=a 的阶 3
Res f (a) lim 1 [(z a)3 f (z)](31) za (3 1)!
lim 1 [z ez ](2) a 2 ea
z a 2!
2
9
z sin z (2) g(z) (1 ez )3
确定极点 z=0 的阶：
洛必达法则
lim sin z
1,
lim (z a) f (z) ,
z
则 lim R
Sa,R f (z) dz i (2 1 )
证明：记 QR
[ f (z) ]dz ,
Sa, R
za
MR
max
z Sa, R
|
f (z)
| za
则 | QR | (2 1 ) R MR
R
MR
R
max
z Sa,R
| f (z) | max z a z Sa,R
证明：作每个奇点的 δ邻域，
边界互不相交和包含。
L
复连通区域的柯西定理
b1
n
f (z)dz
f (z)dz
Cห้องสมุดไป่ตู้
k 1 |z bk |
bn
n
2i Res f (bk ) (留数定义) k 1
b2
4
2. 孤立奇点 ∞ 处的留数
洛朗展开 f (z) Ck zk , r | z | k
定义 f(z) 在 z=∞ 处的留数 = z−1 的系数×(–1)
4. 用留数定理计算围线积分
步骤：① 确定函数在围线内部的奇点及种类； ② 求各奇点的留数； ③ 应用留数定理
例4：Q
dz ?