江苏省2021届高考模拟试题新高考样卷高三语数学题考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知集合A ＝{x |x 2<1}，集合B ＝{x |l o g 2x <0}，则A ∩B 等于()A ．(0,1)B ．(－1,0)C ．(－1,1)D ．(－∞，1)2．复数z ＝2－i1＋i对应的点在复平面内位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在△A B C 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3b c ，s i n C ＝23s i nB ，则A 等于()A .π6B .π3C .2π3D.5π64．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n}的通项公式是()A ．a n＝n B ．a n＝n ＋1n()n －1C ．a n＝n 2D ．a n＝2n －15．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x <0时，f (x )单调递增．若实数a满足f (3－|a ＋1|)>f －33()，则a 的取值范围是()A .－32，－12()B .－∞，－32()∪－12，＋∞()C .－43，－23()D .－∞，－43()∪－23，＋∞()6.已知函数f (x )＝A c o s (ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2()的图象如图所示，若函数h (x )＝f (x )＋1的两个不同零点分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|的最小值为()A .2π3B .π2C .4π3D ．π7．已知点O 是△A B C 内部一点，且满足O A →＋O B →＋O C →＝0，又A B →·A C →＝23，∠B A C ＝60°，则△O B C 的面积为()A .32B ．3C ．1D ．28．抛物线y 2＝2p x (p >0)的焦点为F ，已知点A 和B 分别为抛物线上的两个动点．且满足∠A F B＝120°，过弦A B 的中点M 作抛物线准线的垂线M N ，垂足为N ，则M NA B的最大值为()A .3B ．1C .233D .33二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．“存在正整数n ，使不等式(n ＋3)l g a >(n ＋5)l g a a(0<a <1)成立”的一个充分条件是()A ．0<a <23B .23<a <1C .13<a <56D .23<a <5610．在下列函数中，最小值是2的函数有()A ．f (x )＝x 2＋1x2B ．f (x )＝c o s x ＋1c o s x 0<x <π2()C ．f (x )＝x 2＋4x 2＋3D ．f (x )＝3x ＋43x －211．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则下列结果正确的是()A ．P (B )＝710B ．P (A ＋B )＝910C ．P (A B )＝0D ．P (A ＋B )＝P (C )12．已知函数f (x )＝x l n x ，若0<x 1<x 2，则下列结论正确的是()A ．x 2f (x 1)<x 1f (x 2)B ．x 1＋f (x 1)<x 2＋f (x 2)C .f x 1 －f x 2x 1－x 2<0D ．当l n x >－1时，x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>2x 2f (x 1)第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝l o g 2x －3x ，则f (－1)＝________.14．点A ，B ，C ，D 在同一球面上，A B ＝B C ＝2，A C ＝2，若球面的表面积为25π4，则四面体A B C D 体积的最大值为________．15．已知向量m ＝(s i n x ，－3)，n ＝(c o s x ，c o s 2x )，则函数f (x )＝m ·n ＋32的最小正周期为________，单调递增区间为______________．(本题第一空2分，第二空3分)16．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过F 且斜率为a b 的直线l 与双曲线C的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且|A F →|＝2|B F →|，则双曲线C 的离心率为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成公比为a 3的等比数列，又数列{b n }满足b n＝2a n ，n ＝2k －1，2n ，n ＝2k ，{k ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前2n 项和T 2n.18．(12分)在锐角△A B C 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 的对边，且满足(2c －a )c o s B －b c o sA ＝0.(1)求角B 的大小；(2)已知c ＝2，A C 边上的高B D ＝3217，求△A B C 的面积．19.(12分)如图，在长方体A B C D －A 1B 1C 1D 1中，A A 1＝1，底面A B C D 的周长为4，E 为B A 1的中点．(1)判断两直线E C 1与AD 的位置关系，并给予证明；(2)当长方体A B C D －A 1B 1C 1D 1的体积最大时，求直线B A 1与平面A 1C D 所成的角θ.20．(12分)(2020·徐州模拟)已知椭圆C 1：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和椭圆C 2：x 22＋y 2＝1的离心率相同，且点(2，1)在椭圆C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设P 为椭圆C 2上一点，过点P 作直线交椭圆C 1于A ，C 两点，且P 恰为弦A C 的中点，则当点P 变化时，试问△A O C 的面积是否为常数，若是，求出此常数，若不是，请说明理由．21.(12分)当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．目前，国家教育主管部门正在研制的《新时代全面加强和改进学校体育美育工作意见》，以及将出台的加强劳动教育指导意见和劳动教育指导大纲，无疑将对体美劳教育提出刚性要求．为激发学生加强体育活动，保证学生健康成长，某校开展了校级排球比赛，现有甲乙两人进行比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止．设甲在每局中获胜的概率为pp >12()，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59.(1)求p 的值；(2)设X 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X 的概率分布和均值E (X )．22．(12分)函数f (x )＝l n x ＋1－x a x(a ∈R 且a ≠0)，g (x )＝(b －1)x －x e x －1x (b ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当a＝1时，若关于x的不等式f(x)＋g(x)≤－2恒成立，求实数b的取值范围．江苏省2021届高考模拟试题样卷（供各市各校参考）高三语数学题答案精析1．A 2.D 3.A 4.A 5.B 6.A 7．C [因为O A →＋O B →＋O C →＝0，所以O 为△A B C 的重心，所以△O B C 的面积是△A B C 面积的13，因为A B →·A C →＝23，所以|A B →|·|A C →|c o s ∠B A C ＝23，因为∠B A C ＝60°，所以|A B →|·|A C →|＝43，所以S △A B C＝12|A B →|·|A C →|s i n ∠B A C ＝3，所以△O B C 的面积为1.]8．D [如图所示，过A ，B 分别作准线的垂线A Q ，B P ，垂足分别为Q ，P ，设A F ＝a ，B F ＝b ，由抛物线的定义，得A F ＝A Q ，B F ＝B P ，在梯形A B P Q 中，2M N ＝A Q ＋B P ＝a ＋b ，由余弦定理得A B 2＝a 2＋b 2－2a b c o s 120°＝a 2＋b 2＋a b ，整理得A B 2＝(a ＋b )2－a b ，因为a b ≤a ＋b 2()2，则(a ＋b )2－a b ≥(a ＋b )2－a ＋b 2()2＝34(a ＋b )2，即A B 2≥34(a ＋b )2，所以A B 2M N2≥34 a ＋b214a ＋b 2＝3，所以A BM N≥3，即M NA B ≤33，当且仅当a ＝b ，即A F ＝B F 时取等号，故选D .]9．B D [由(n ＋3)l g a >(n ＋5)l g a a (0<a <1)，得(n ＋3)l g a >a (n ＋5)l g a (0<a <1)，∵0<a <1，∴l g a <0，∴n ＋3<a (n ＋5)，即a >n ＋3n ＋5＝1－2n ＋5，若存在正整数n ，使a >1－2n ＋5，需a >1－2n ＋5()m i n，当n ＝1时，1－2n ＋5取最小值23，∴a >23，又a <1，∴a 的取值范围为a 23<a <1|{}，易知选项B D 是a 23<a <1|{}的子集．]10．A D [由题意，对于A 中，函数f (x )＝x 2＋1x2≥2x 2·1x2＝2，当且仅当x 2＝1x2，即x ＝±1时等号成立，所以函数f (x )的最小值为2；对于B 中，因为0<x <π2，则c o s x ∈(0,1)，而f (x )＝c o s x ＋1c o s x ≥2c o s x ·1c o s x＝2，当且仅当c o s x ＝1c o s x，即c o s x ＝1时等号成立，此时等号不成立，所以函数的最小值不是2；对于C 中，函数f (x )＝x 2＋4x 2＋3＝x 2＋3＋1x 2＋3＝x 2＋3＋1x 2＋3≥2x 2＋3·1x 2＋3＝2，当且仅当x 2＋3＝1x 2＋3，即x 2＋3＝1，即x 2＝－2时取等号，显然不成立；对于D 中，函数f (x )＝3x ＋43x －2≥23x ·43x －2＝4－2＝2，当且仅当3x ＝43x ，即x ＝l o g 32时等号成立，此时函数f (x )的最小值为2.]11．A B C [由题意知A ，B ，C 为互斥事件，故C 正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P (B )＝710，P (A )＝210，P (C )＝110，则P (A ＋B )＝910，故A ，B ，C 正确，D 错误．]12．A D [设g (x )＝f xx＝l n x ，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，则g (x 2)>g (x 1)，即f x 2 x 2>f x 1 x 1，∴x 1f (x 2)>x 2f (x 1)，A 正确；设h (x )＝f (x )＋x ，∴h ′(x )＝l n x ＋2不恒大于零，B 错误；f (x )＝x l n x ，∴f ′(x )＝l n x ＋1不恒小于零，C 错误；l n x >－1，故f ′(x )＝l n x ＋1>0，函数单调递增，故(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]＝x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)－x 2f (x 1)－x 1f (x 2)>0，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 2f (x 1)＋x 1f (x 2)，f x 2 x 2＝l n x 2>f x 1x 1＝l n x 1，∴x 1f (x 2)>x 2f (x 1)，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>2x 2f (x 1)，D 正确．]13．3解析因为f (1)＝l o g 21－3＝－3，又f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝3.14.23解析依题意A C 2＝B C 2＋A B 2，所以∠A B C ＝90°，设A C 的中点为E ，球的半径为R ，过A ，B ，C 三点的截面圆半径为r ＝A E ＝12A C ＝1，由球的表面积为25π4知，4πR 2＝25π4，解得R ＝54，因为△A B C 的面积为12A B ·B C ＝1，所以要四面体A B C D 的体积最大，则D 为直线D E 与球的交点且球心在线段D E 上，所以球心到过A ，B ，C 三点的截面的距离为d ＝R 2－r2＝34，所以D E ＝34＋54＝2，所以四面体A B C D 体积的最大值为13×1×2＝23.15．πk π－π12，k π＋5π12[]，k ∈Z 解析f (x )＝m ·n ＋32＝s i n x c o s x －3c o s 2x ＋32＝12s i n 2x －32c o s 2x ＝s i n 2x －π3()，其最小正周期是T ＝2π2＝π；由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z 即y ＝f (x )的单调递增区间为k π－π12，k π＋5π12[]，k ∈Z .16．2或233解析若A F →＝－2B F→，则由图1可知，渐近线O B 的斜率为－b a，l ⊥O B ，在R t △O B A 中，由角平分线定理可得O A O B ＝F A F B ＝2，所以∠A O B ＝60°，∠x O A ＝30°，所以b a ＝33，e ＝c a ＝1＋b a ()2＝233.若A F →＝2B F→，则由图2可知，渐近线O B 为△A O F 边A F 的垂直平分线，故△A O F 为等腰三角形，故∠A O B ＝∠B O F ＝60°，b a＝3，e ＝c a ＝1＋b a()2＝2，即该双曲线的离心率为2或233.17．解(1)在公差d 不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成公比为a 3的等比数列，可得a 23＝a 1a 9，a 3＝a 1a 3，可得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，a 1＝1，化简可得a 1＝d ＝1，即有a n ＝n (n ∈N *)．(2)由(1)可得b n ＝2n ，n ＝2k －1，2n ，n ＝2k ，{k ∈N *.前2n 项和T 2n＝(2＋8＋32＋…＋22n －1)＋(4＋8＋12＋…＋4n )＝2 1－4n 1－4＋12n (4＋4n )＝2 4n －1 3＋2n (n ＋1)．18．解(1)∵(2c －a )c o s B －b c o s A ＝0，由正弦定理得(2s i n C －s i n A )c o s B －s i n B c o s A ＝0，∴(2s i n C －s i n A )c o s B ＝s i n B c o s A ，2s i n C c o s B －s i n (A ＋B )＝0，∵A ＋B ＝π－C 且s i n C ≠0，∴c o s B ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵S △A B C ＝12a c s i n B ＝12B D ·b ，代入c ＝2，B D ＝3217，s i n B ＝32，得b ＝73a ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2a c c o s B ＝a 2＋4－2a ，代入b ＝73a ，得a 2－9a ＋18＝0，解得a ＝3，b ＝7{或a ＝6，b ＝27，{又∵三角形为锐角三角形，∴a 2<c 2＋b 2，∴a ＝3，b ＝7.∴S △A B C ＝12a c s i n B ＝12×2×3×32＝332.19．解(1)E C 1与AD 是相交直线.证明如下：如图，连结A B 1，C 1D ，则A B 1C 1D 是平行四边形，∵E 是A B 1的中点，∴A E ∥C 1D ，A E ＝12C 1D ，∴A E C 1D 为梯形，A ，E ，C 1，D 四点共面，又E C 1与A D 为梯形的两腰，故E C 1与AD 相交.(2)设A B ＝b ，A D ＝2－b ，V A B C D －A 1B 1C 1D 1＝b (2－b )×A A 1＝b (2－b )≤b ＋2－b 2()2＝1，当且仅当b ＝2－b ，即b ＝1时取等号，方法一连结B D (图略)，设点B 到平面A 1C D 的距离为h ，则根据等体积法V B －A 1C D ＝V A 1－B C D ，其中S △A 1C D ＝12×C D ×A 1D ＝22，V A 1－B C D ＝13S △B C D ×A A 1＝16，∴h ＝22，则直线B A 1与平面A 1C D 所成的角θ满足s i n θ＝h B A 1＝12，∵θ∈0，π2[]，∴θ＝π6.方法二分别以边A B ，A D ，A A 1所在的直线为x，y ，z 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，B A 1→＝(－1,0,1)，C D →＝(－1,0,0)，C A 1→＝(－1，－1,1),设平面A 1C D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·C D →＝0，n ·C A 1→＝0，{即－x ＝0，－x －y ＋z ＝0，{取z ＝1，则n ＝(0,1,1)，∴s i n θ＝|c o s 〈B A 1→，n 〉|＝12×2＝12，∵θ∈0，π2[]，∴θ＝π6.20．解(1)由题意知，2a 2＋1b 2＝1，且c a ＝22，即a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 22＝1.(2)是．①当直线A C 的斜率不存在时，必有P (±2，0)，此时A C ＝2，S △A O C＝2.②当直线A C 的斜率存在时，设其斜率为k ，点P (x 0，y 0)，则A C ：y －y 0＝k (x －x 0)，直线A C 与椭圆C 1联立，得(1＋2k 2)x 2＋4k (y 0－k x 0)x ＋2(y 0－k x 0)2－4＝0，设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 0＝x 1＋x 22＝－2k y 0－k x 0 1＋2k2，即x 0＝－2k y 0，又x 20＋2y 20＝2，∴y 20＝11＋2k2，S △A O C ＝12×|y 0－k x 0|1＋k2×1＋k 2·16k 2 y 0－k x 0 2－4 1＋2k 2 [2 y 0－k x 02－4]1＋2k2＝2|y 0－k x 0|2 1＋2k 2 － y 0－k x 0 21＋2k 2＝2 1＋2k 2 |y 0|2 1＋2k 2 － 1＋2k 2 2y 201＋2k2＝2|y 0|1＋2k 2＝2.综上，△A O C 的面积为常数2.21．解(1)依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．所以有p 2＋(1－p )2＝59，解得p ＝23或p ＝13(舍)．(2)依题意知，X 的所有可能值为2,4,6,8.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P (X ＝2)＝59，P (X ＝4)＝1－59()×59＝2081，P (X ＝6)＝1－59()×1－59()×59＝80729，P (X ＝8)＝1－59()×1－59()×1－59()×1＝64729.所以随机变量X 的概率分布为X2468P 5920818072964729则E (X )＝2×59＋4×2081＋6×80729＋8×64729＝2522729.22．解(1)∵f (x )＝l n x ＋1a x －1a，∴f ′(x )＝1x －1a x 2＝a x －1a x 2(x >0)，当a <0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，由f ′(x )>0得x >1a；由f ′(x )<0得0<x <1a，∴f (x )在0，1a()上单调递减，在1a ，＋∞()上单调递增．综上，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在0，1a()上单调递减，在1a，＋∞()上单调递增．(2)由题意，当a ＝1时，不等式f (x )＋g (x )≤－2，即l n x ＋1x －1＋(b －1)x －x e x －1x≤－2，即b －1≤e x －l n x x －1x 在(0，＋∞)上恒成立，令h (x )＝e x －l n x x －1x，则h ′(x )＝e x－1－l n x x 2＋1x 2＝x 2e x ＋l n x x 2，令u (x )＝x 2e x ＋l n x ，则u ′(x )＝(x 2＋2x )e x ＋1x>0，∴u (x )在(0，＋∞)上单调递增，又u (1)＝e >0，u 12()＝e 4－l n 2<0，∴u (x )有唯一零点x 012<x 0<1()，所以u (x 0)＝0，即x 0e x 0＝－l n x 0x 0，(*)当x ∈(0，x 0)时，u (x )<0，即h ′(x )<0，h (x )单调递减；x ∈(x 0，＋∞)时，u (x )>0，即h ′(x )>0，h (x )单调递增，∴h (x 0)为h (x )在定义域内的最小值．令k (x )＝x e x 12<x <1()，则方程(*)等价于k (x )＝k (－l n x )，又易知k (x )单调递增，所以x ＝－l n x ，e x ＝1x，∴h (x )的最小值为h (x 0)＝e x 0－l n x 0x 0－1x 0＝1x 0－－x 0x 0－1x 0＝1，∴b －1≤1，即b ≤2，∴实数b 的取值范围是(－∞，2]．。