本科生课程设计报告实习课程数值分析学院名称管理科学学院专业名称学生姓名学生学号指导教师实验地点实验成绩二〇一六年六月二〇一六年六月ﻬ估计水塔的水流量摘要水塔流量的估计是一个较为经典的数学建模问题,本问题最大的困难在于不知泵启动时水位的变化和向外水流的速度．解决该问题，先确定近似流速，利用中点数值求导公式计算出每个时间点出的流速,再利用插值与拟合计算出流速与时间的函数,对0到24小时积分可得总用水量，这是第一种方法.第二种方法，水泵没有开动时利用高度差计算用水量,水泵开动时利用积分，这样计算出的结果较为准确，２种方法比较，可得出误差.关键词：中点数值求导；插值与拟合；积分ﻬ目录第１章前言ﻩ错误!未定义书签。
1.1 内容及要求ﻩ错误!未定义书签。
1。
2 研究思路及结构安排................................. 错误!未定义书签。
第2章模型建立与求解ﻩ错误!未定义书签。
２.1模型假设............................................ 错误!未定义书签。
2。
2确定近似流速ﻩ错误!未定义书签。
2．3 确定水泵启动时的流量及总流量曲线ﻩ错误!未定义书签。
２。
4确定总用水量....................................... 错误!未定义书签。
第3章算法步骤ﻩ错误!未定义书签。
3．１中点数值求导函数步骤及流程图ﻩ错误!未定义书签。
3。
2 三次样条插值函数步骤及流程图....................... 错误!未定义书签。
第４章算法实现.............................................. 错误!未定义书签。
4。
1 程序总体结构ﻩ错误!未定义书签。
4．2 源程序清单......................................... 错误!未定义书签。
4.３程序运行............................................ 错误!未定义书签。
第5章误差分析ﻩ错误!未定义书签。
第6章模型的评价和改进...................................... 错误!未定义书签。
6。
1 优点................................................ 错误!未定义书签。
6。
2 缺点ﻩ错误!未定义书签。
6.3 模型的改进方向....................................... 错误!未定义书签。
参考文献..................................................... 错误!未定义书签。
第1章前言1。
1 内容及要求某地的用水管理机构要求各社区提供各个时刻的用水率以及每天所用的总用水量。
但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，他们只能代之以每小时测量水塔中的水位,其误差不超过0。
５%.更为重要的是,无论什么时候，只要水塔中的水位下降到最低水位L时，水泵就自动启动向水塔重新充水直到最高水位Ｈ时水泵自动停止，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。
因此，在水泵正在工作时，人们不容易建立水塔中水位与水泵工作时的用水量之间的关系.水泵每天向水塔充水一次或两次，每次约二小时。
下表为某地一天中的真实的数据。
表1某天水塔水位测量记录水塔是一个高４0英尺、直径57英尺的圆柱.按照设计，水塔水位降至约Ｌ＝27英尺时,水泵自动启动加水；当水位升高到约H=３5。
５英尺米时,水泵自动停止工作。
试估计在任何时刻(包括水泵正在供水时）水从水塔流出的流量ｆ（t），并估计一天的总用水量。
１．2 研究思路及结构安排本问题最大的困难在于不知道水泵启动时水位的变化和向外水流的速度。
用水量等于向外水流速度乘以时间。
因此,如何确定流速是解决该问题的关键。
第2章 模型建立与求解2．1模型假设（1）除了问题中特别说明的数据以外,其他给定的数据其测量误差不超过０。
5%;(２)一天之中,任意从一个开始时刻，如从ｔ＝0起到t ＝２4小时结束，一天开始时刻的不同不影响一天总水量；（3）管理部门不考虑水流速度的瞬间值，感兴趣的是整个一天中的用水总趋势；(４)水泵抽水的速度是均匀的;（5）假设水流的速度是连续变化的，流速可以用一条光滑的曲线近似表示，即在给定的数据点上有连续的二阶导数。
2.2确定近似流速水泵不供水时,水流速度不难用数值方法描述，但如何描述清楚水泵向水塔供水期间的流速？我们首先估计水泵不启动时,每个已知数据点上的流速.流速等于水量的变化除以时间的变化。
假设()y f t =为t 时刻水塔中水的容量，(,)i i t f 表示i t 时刻水塔中水的容量为i f .使用中点数值求导公式,求i t 处的导数()i f t '的近似值。
水泵不启动时段共有3段，对于每段的前两个点1123311()(34)f t f f f t t '=-+--231311()()f t f f t t '=--对于每段的后两个点对于每段的其余点如此，可得各时刻点上的流速.(负号保证流速为正数） 2。
３ 确定水泵启动时的流量及总流量曲线在2．３.1中已经得到了已知数据点（水泵不启动时)上的近似流速，根据假设（5），水流的速度可以表示为一条光滑的曲线。
因此考虑使用已经求出的水泵未启动时的流速来近似模拟水泵启动时的流速，这种模拟有两种方式：插值和拟合。
由于假设流速具有连续的二阶导数，因此采用三次样条插值多项式来模拟任意时刻的流速。
用()v t 表示时刻t 的流速。
２．4确定总用水量前面已经求出水流的流速曲线,如何求总用水量呢? 如果画出流速曲线，就可以从流速曲线图看出,流速在0时刻和2４时的流速近似相等，因此流速是近似地以一天为周期的。
可以考虑以下两种方式：1）一种方式是使用流速在时刻0至24小时上积分2）直接根据高度的变化求出水泵不启动时的用水量用积分求出水泵启动时的用水量近似值,然后相加。
选择０24小时内的范1221()()n n n n n f t f f t t ---'=--1221()(34)n n n n n n f t f f f t t ---'=-+-2112221()(88)3()i i i i i i i f t f f f f t t --+++-'=-+--()()i i v t f t '=-240()Q v t dx=⎰围，08．96７8小时内，高度从3１.7５下降至２6.９7英尺，用水量为在1０.9５4２２0。
8392小时内，高度从35.50降至2６97英尺,用水量为然后用数值积分求出两次水泵启动期间的用水量总用水量为 21q r h π=∆257(31.7526.97)2π⎛⎫=- ⎪⎝⎭22q r h π=∆257(35.5026.97)2π⎛⎫=- ⎪⎝⎭10.954218.9678()q v t dx∆=⎰24220.8392()q v t dx∆=⎰21212Q q q q q =++∆+∆第3章算法步骤3。
1 中点数值求导函数步骤及流程图图错误!未定义书签。
中点数值求导函数流程图3．2 三次样条插值函数步骤及流程图图错误!不能识别的开关参数。
三次样条插值函数流程图第4章算法实现４.2 源程序清单way2（t,f）; ／／方法2计算总水量ﻩCｏuntErｒoｒ（)； /／计算误差}4。
３程序运行图４水塔流量程序运行结果图５水塔流量程序运行结果ﻬ运行结果说明：通过积分的方法算出的用水量为37879，通过综合计算的方法计算出的用水量为3６３63，两次结果都与实验说明相差800０，原因应该是计算过程中,曲线的拟合处出现了较大误差；而两次计算的相对误差为4．7%,结果相对比较接近实验说明的要求。
所以,此次编程虽然有些许误差，但是实验结果仍然表明整个方法没有根本性错误。
第5章 误差分析考虑前面两种求总用水量的结果,1Q 由数值积分求出，2Q 结合高度和数值积分求出.根据高度求出的水泵未启动时的用水量可以认为是精确的。
由数值积分求出的水泵未启动时的用水量112()Q q q -∆+∆.根据高度求出的水泵未启动时的用水量，可以认为是精确值212()Q q q -∆+∆。
我们使用水泵未启动时的用水量的误差近似替代总的误差。
ﻬ第6章 模型的评价和改进6。
1 优点1）模型的灵活性较好，可以用到那些拥有垂直圆柱型水塔的社区或单位，模型中的数据只要是离散的时间和水位的高度；２)）模型所用的数学概念简单,并且也容易理解,一阶导数、三次样条插值和积分都是被广泛使用的概念;3)只要提供了数据和计算机,模型很容易实现；４）模型为一天里的流速和总用水量提供了较为精确的估计。
6．2 缺点1）模型受到水塔形状限制；２）光滑曲线不能模拟真实流速观测中的微小变化。
6.3 模型的改进方向1) 可以增加一些参数，以使模型适用于不同形状的水塔;2) 也可以加入随机因素，并进行方差分析，使模型更适应于真实的情况。
参考文献ﻬ。