相似三角形经典题集锦 姓名1、（开放题）如图l －4－31，已知Rt △ABC 与Rt △ DEF 不相似，其中∠C 、∠F 为直角，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使AABC 分成的两个三角形与ADEF 所分成的两个三角形分别对应相似？如果能，请你计设出一种分割方案．2、(探究题）如图l －4－32，在△ABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动，同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3㎝的速度向A 点运动，设运动的时间为x. ⑴当x 为何值时，PQ ∥BC ？ ⑵当P 13BCQ B Q ABCABCS S S S ∆∆∆∆=时，求的值。

⑶ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，求出AP 的长，若不能，请说明理由．3、如图，在yABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且 ∠BFE ＝∠C ．⑴ 求证：△ABF ∽△EAD ； ⑵ 若AB=4，∠BA=30°，求AE 的长；⑶ 在⑴、⑵的条件下，若AD=3，求BF 的长.4、如图，Rt 三角形ABC 中，∠BAC=90度，AB=AC=2，点D 在BC 上运动（不能经过B 、C ）， 过D 作∠ADE=45度，DE 交AC 于E 。

（1）图中有无与三角形ABD 一定相似的三角形，若有，请指出来并加以说明（2）设BD=x,AE=y,求y 与x 的函数关系，并写出其定义域； （3）若三角形ADE 恰为等腰三角形，求AE 的长E CB AD5、已知：∠A=90°，矩形DGFE 的D 、E 分别在AB 、AC 上，G 、F 在BC 上 （1）如果DGFE 为正方形，BG=22，FC=2，求正方形DGFE 的边长；（2）若AB=12cm,AC=5cm ，DGFE 的面积为 y 平方厘米,写出y 关于x 的函数解析式，并求由矩形面积为10平方厘米时, 求AD 的长6、如图，矩形EFGD 的边EF 在ABC ∆的BC 边上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上． 已知5AB AC ==，6BC =，设BE x =，EFGD S y =矩形． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（2）联结EG ，当GEC ∆为等腰三角形时，求y 的值．7、在Rt ABC ∆中, ∠ACB =90°, CD AB ⊥,垂足为D . E 、F 分别是AC 、BC 边上一点,且CE =13AC ,BF =13BC . (1 )求证∶AC BC =CDBD. (2 )求EDF ∠的度数.FEDC BA AD G BEF C8、已知：在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AB=2，AD=4，M 是边CD 中点，设BC=x ，△ABM 的面积为y 。

（1）当BC=7时，求DC 的长；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）连接BD 交AM 于点E,当以A 、D 、E 为顶点的三角形与以B 、M 、C 为顶点的三角形相似时，求ＢＣ的长9、如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？10、如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；M BA DC E M B AD C（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．11、正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△； （2）设BM x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值．12、在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，P 是射线BC 上的一个动点，作PE ⊥AP ，PE 交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP =x ，CE =y ．（1）如图，当点P 在边BC 上时（点P 与点B 、C 都不重合），求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当x =3时，求CF 的长；（3）当EP/AP=21时，求BP 的长．D Q C PN B M A DQ C P NB MA A BP CFD E13、如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ． （1）求证：ABF COE △∽△；（2）当O 为AC 边中点，2AC AB =时，如图2，求OFOE 的值； （3）当O 为AC 边中点，AC n AB =时，求OFOE的值．14、（1）在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠. ①若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长；②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）正方形ABCD 的边长为5（如图2），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，写出线段BP 的长 （不需要计算过程，请直接写出结果）.图1A B C备用图 A B C P Q A B CD 图2 BB A AC OE D D E C OF 图1 图2 F15、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(80)-，，直线BC 经过点(86)B -，，(06)C ，，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ．（1）四边形OABC 的形状是 ，当90α=°时，BPBQ的值是 ； （2）①如图2，当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时，求BPBQ的值； ②如图3，当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时，求OPB '△的面积．（3）在四边形OABC 旋转过程中，当0180α<≤°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使12BP BQ =？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16、如图，在矩形ABCD 中，AB=3,AD=1,点P 在线段AB 上运动，设AP=x ，现将纸片折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF （点E 、F 为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。

（1）当x=0时，折痕EF 的长为 ；当点E 与点A 重合时，折痕EF 的长为 ；（Q ） C B A O x PA 'C '（图3） y B ' Q C B AO x P A ' B ' C ' （图2） y C B A O y x（备用图）B A M BA MB A MGD D O O O P C P C （2）请写出使四边形EPFD 为菱形的x 的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；（3）令2y EF =，当点E 在AD 、点F 在BC 上时，写出y 与x 的函数关系式。

当y 取最大值时，判断EAP 与PBF 是否相似？若相似，求出x 的值；若不相似，请说明理由。

17、已知，∠AOB=90°，OM 是∠A0B 的∠平分线，按以下要求操作并解答问题：（1）将三角板的直角顶点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与边0A 、0B 交于点C 、D ① 在图①中，证明：PC=PD ；② 在图②中，点G 是CD 与OP 的交点，且PG=23PD ，求：POD S ∆﹕PDG S ∆ （2）将三角板的直角顶点P 在射线OM 上移动，一直角边与边0B 交于点D ，OD=1，另一直角边与直线OA 、直线OB 分别交于点C 、E ，使以P ，D ，E 为顶点的三角形与ΔOCD 相似，在图③中作出图形，试求OP 的长HE D H E D RH Q E D A C C A A C B P B B 18、如图，在Rt ΔABC 中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ ⊥BC 于Q ，过点Q 做QR ∥BA 交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动，设BQ=x ，QR=y（1）求点D 到BC 的距离DH 的长 （2）求y 关于x 的函数关系式（3）是否存在点P ，使ΔPQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由。