广东省2020年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.每小题只有一个选项符合题目要求）1.若()0lim cos 1x x f x →-=⎡⎤⎣⎦，则下列等式正确的是 A.()0lim 1x f x →=B.()0lim cos 1x f x x →=C.()0lim 1x f x →=-D.()0lim cos 1x f x x →+=⎡⎤⎣⎦2.函数()3223f x x x =-的极小值是 A.1x =-B.0x =C.1x =D.2x =3.已知3x 是函数()f x 的一个原函数，则()f x = A.3xB.3ln 3xC.13x x -D.3ln 3x 4.设平面区域(){}22,1,0D x y x y y =+≤≥.则()422Dx y d σ+=⎰⎰A.π10B.π9C.π5D.2π95.设级数1n n a ∞=∑满足105n na ≤≤，则下列级数发散的是 A.13n n a ∞=∑B.31n n a ∞+=∑C.1n n a ∞=⎛⎫ ⎝∑D.1n n a ∞=⎛⎫- ⎝∑ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6.若函数()()()31,133,1f a x a x x x +≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，在1x =处连续，则常数a = . 7.曲线2232x y +=在()2,1-点处的切线方程为y = .8.微分方程340y y y '''+-=的通解为y = .9.设二元函数(),f x y 在点()0,0的某个领域有定义，且当0x ≠时，()(),00,032f x f x x-=+，则()0,0x f '= .10.设函数()f x 在(),-∞+∞内可导且满足()()f x f x '=，()0f m =，如果()118xf x dx e -=⎰，则m = .三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11.求极限03arctan limxx t tdt x →⎰12.已知y 是x的函数，且2ln 2y ='，求22x ed ydx=13.求不定积分()2cos2sin x x x dx -⎰14.设函数()32,11,1x x x x f x x ⎧≤⎪=+⎨⎪>⎩，求定积分()032f x dx -+⎰.15.求二元函数223x z xy y =+的全微分dz ，并求2zx y∂∂∂.16.计算Dyd σ⎰⎰，其中D 是由直线y x =，2y x =-与0y =，2y =围成的有界区域.17.求微分方程22sec dy xdx y =，满足初始条件01x y ==的特解.18.判定级数12!nn n n n ∞=∑的收敛性.四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）19.设有界平面图形G 由曲线ax y e =和直线y e =，0x =围成，其中常数0a >，若G 的面积等于1.（1）求a 的值；（2）求G 绕y 轴旋转一周而成的旋转体体积V . 20.设函数()1bxx af e =+，其中a ，b 为常数，且0ab ≠. （1）判别()f x 在区间(),-∞+∞内的单调性； （2）求曲线()y f x =的拐点；（3）求曲线()y f x =的水平渐近线方程.广东省2016年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共5小题，每小题3分，共15分。
每小题只有一个选项符合题目要求）1.若函数()3,11,1f x a x x x x +≥⎧⎨+<=⎩在点1x =处连续，则常数a =A.-1B.0C.1D.22.已知函数()f x 满足()()000lim 6x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x 'AA.1B.2C.3D.63.若点()1,2为曲线32y ax bx =+的拐点，则常数a 与b 的值应分别为 A.-1和3B.3和-1C.-2和6D.6和-24.设函数()f x 在区间[]1,1-上可导，C 为任意实数，则()sin cos xf x dx '=⎰ A.()cos cos xf x C +B.()cos cos xf x C -+C.()cos f x C +D.()cos f x C -+5.已知常数项级数1n n u ∞=∑的部分和()*1n nS n N n =∈+，则下列常数项级数下列级数中，发散的是 A.12n u ∞=∑B.()11n n n u u ∞+=+∑C.11n n u n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑D.135nn n u ∞=⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6.极限3lim sinx x x→∞= 。
7.设21xy x=+，则0x dy == 。
8.设二元函数ln z x y =，则2zy x∂=∂∂ 。
9.设平面区域(){}22,1D x y xy =+≤，则()22Dx y d σ+=⎰⎰ 。
10.椭圆曲线2214x y +=围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积V = 。
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11.求极限2301sin lim x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭12.求曲线232xy x y e ++=在点()0,1处的切线方程 13.求不定积分。
14.计算定积分12x x dx ⎰15.设v z u =，而2u x y =+，v x =，求10x y z x==∂∂和10x y z y==∂∂16.设平面区域D 由曲线1xy =和直线y x =及2x =围成，计算2Dxd yσ⎰⎰17.已知函数2x y e =是微分方程20y y ay '''-+=的一个特解，求常数a 的值，并求该微分方程的通解18.已知级数1n u ∞=∑满足()*11113nn n u u n N n +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，且11u =，判定级数1n u ∞=∑的收敛性。
四、综合题（大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分） 19.设函数()()212ln 1f x x x x -+=+，证明： （I ）当0x →时，()f x 是比x 高阶的无穷小量； （2）当0x >时，()0f x >20.已知定义在区间[)0,+∞上的非负可导函数()f x 满足 ()()()222101xf t dt x t fx +=≥+⎰（1）判断函数()f x 是否存在极值，并说明理由； （2）求()f x2016年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1.A 2.B 3.A 4.D 5.C二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）6.37.dx8.1y9.π2 10.8π3三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 11.233200001sin sin 1cos sin 1lim lim lim lim 366x x x x x x x x x x x x x x →→→→--⎛⎫-==== ⎪⎝⎭ 12.解：等式两边对x 求导得：60xy dy dy x e y x dx dx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ()16xy xy dyxe x ye dx+=-- ∴61xyxydy x ye dx xe --=+，011x y dy dx ===-故曲线在点()0,1处切线方程为()10y x -=--，即1y x =-+ 13.t ，则2x t =，2dx tdt =22arcsin tdt t C C ===+=14.解：()11110000112222ln 2ln 2x x x x x dx xd x dx ==-⎰⎰⎰ 10121122ln 2ln 2ln 2ln 2x ⎛⎫⎛⎫⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15.解：12ln v v z z u z vvu u u x u x v x-∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂ 1v z z u z v vu y u y v y-∂∂∂∂∂=+=∂∂∂∂∂ 又∵当1x =，0y =时，2u =，1v = ∴1022ln 2x y z x==∂=+∂，101x y z x==∂=∂16.解：()232222122111114133xx Dx x x x x x d dx dy dx x dx x y y y δ⎛⎫⎛⎫ ⎪==-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰17.解：∵2x y e '=，24x y e ''=由题意知222440x x x e e ae -+=，即20x ae =，0a = 当0a =时微分方程为20y y '''-=其特征方程为220r r -=，解得0r =，2r = 所以，微分方程的通解为212x y c c e =+18.解由题意知，该级数为正项级数，用比值审敛法判断 ∵111lim lim 1133nn x x nu eu n +→∞→∞⎛⎫=+=< ⎪⎝⎭∴该级数收敛 19.证明： （1）()()200111ln 1112limlimlim lim 1011x x x x x x x xf x x x xxx →→→→-++-+⎛⎫+===-+= ⎪+⎝⎭所以当0x →时，()f x 是比x 高阶的无穷小量（2）当0x ≥时，()()()2111110111x x x x xx x f x ++-=-+=='≥+++，且等号仅在0x =处成立所以()f x 在区间()0,+∞单调递增20.（1）对条件等式两边对x 求导得()()()22112f x xf x f x +=+'，∵()22101fx x +≠+，∴()0f x '≠即()f x 无驻点，故()f x 不存在极值（2）令()f x y =，则由（1）式得22121y yy x+'=+，且00x y ==，即222111y dy dx y x =++ 即()2ln 1arctan y x c +=+ 由000x yc ==⇔=故2arctan 1xy e +=，因此()()()1arctan 210xf x x y e==-≥广东省2017年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共5小题，每小题3分，共15分。
每小题只有一个选项符合题目要求）1.下列极限等式不正确的是 A.lim 0nn e-→∞= B.1lim 1nn e →∞= C.211lim01x x x →-=- D.01lim sin0x x x→= 2.若lim 14xx a x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则常数a =A.ln2B.2ln2C.1D.43.设()F x 是可导函数()f x 的一个原函数，C 为任意常数，则等式不正确的是 A.()()f x dx f x C '=+⎰ B.()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰ C.()()f x dx F x C =+⎰D.()()F x dx f x C =+⎰4.已知函数()f x 在区间[]0,2上连续，且()204x f x dx =⎰，则40f dx =⎰A.2B.4C.6D.85.将二次积分()1221I dx f x y dy -=+⎰化为极坐标形式的二次积分，则I =A.()120d r f r dr πθ⎰⎰B.()120d f r dr πθ⎰⎰C.()21200d r f r dr πθ⎰⎰D.()2120d f r dr πθ⎰⎰二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6.已知当0x →时，()2f x x ，则()0sin 6lim x xf x →= 。