第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
1.平面直角坐标系
考点类析
考点一：
例1.（1）如图1-1-1，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若→AB ²→AF=2，则→AE ²→BF 的值是 ．
图1-1-1 答案： 2 【解析】如图，以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系，
则A （0，0），B （2，0），E （2，1），F （x ，2），
∴→AB ²→AF=（2，0）²（x ，2）=2x=2，解得x=1，
∴→AE ²→BF=（2，1）²（1-2，2）= 2.
（2）见原考点一例1
练习册
1.如图1-1-2所示是永州市几个主要景点示意图的一部分，如果用（0，1）表示九巍山的中心位置点C ，用（-2，0）表示盘王殿的中心位置点A ，则千家峒的中心位置点B 表示为（ ）
图1-1-2
A.（-3，1）
B.（-1，-3）
C.（1，-3）
D.（-3，-1）
答案：A 【解析】根据题意建立平面直角坐标系，如图：
由坐标系可知千家峒的中心位置点B 表示为（-3，1）.故选A.
2~6题不变
7.更换为原基础检验9题
8. 已知，是单位向量，•=0．若向量满足|﹣﹣|=1，则||的最大值为 . 答案：2+1 【解析】∵|→a |=|→b |=1，且→a ²→b =0，如图，建立直角坐标系，
∴可设→a （1，0），→b =（0，1），→c =（x ，y ）．
∴→c -→a -→b =（x-1，y-1）．
∵|→c -→a -→b |=1， ∴(x-1)2+(y-1)2=1，即（x ﹣1）2+（y ﹣1）2
=1．
∴|→c |的最大值=12+12+1=2+1．
故选C ．
9. 如图1-1-3，矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，M ，N 分别为线段BC ，CD 上的点，且满足1CM 2+1CN 2=1，若→AC=x →AM+y →AN ，则x+y 的最小值为 ．
图1-1-3
答案：54 【解析】由题意建立平面直角坐标系，如图所示；
设点M （3，a ），N （b ，4），且0＜a ＜4，0＜b ＜3；
∵→AC=（3，4），→AM=（3，a ），→AN=（b ，4）；
又∵→AC=x →AM+y →AN ，（x+y ≥1）
∴（3，4）=x （3，a ）+y （b ，4），
即⎩⎨⎧3x+yb=3xa+4y=4，
∴b=3-3x y ，a=4-4y x ，
∴1CM +1CN =1(4-a)+1(3-b)=116•x 2(x+y-1)+19•y
2
(x+y-1)=1，
即x 216+y 29=(x+y ﹣1)2
，
设x+y=m ，则x=m ﹣y ；
则(m-y)216+y
29=(m ﹣1)2，
即25y 2﹣18my+9m 2﹣144(m ﹣1)2=0，
故△=（18m ）2﹣4³25³（9m 2﹣144(m ﹣1)2）≥0，
即24m 2﹣50m+25≥0，
解得，m ≥54或m ≤56（不合题意，舍去）；
又→AC 在→AN 与→AM 的夹角之内，所以x ≥0，y ≥0，对应方程有正根；
又m ≥54，∴y 1+y 2=18m 5＞0，满足题意，
∴x+y 的最小值54．
12. 用坐标法证明：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和．
答案：如图，以顶点A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A （0，0）． 设B （a ，0），D （b ，c ），由平行四边形的性质得点C 的坐标为（a+b ，c ），
因为|AB|2=a 2，|CD|2=a 2，|AD|2=b 2+c 2，|BC|2=b 2+c 2，|AC|2=（a+b ）2+c 2，|BD|2=（b ﹣a ）2+c 2， 所以|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=2（a 2+b 2+c 2），
|AC|2+|BD|2=2（a 2+b 2+c 2）．
所以|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=|AC|2+|BD|2．
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．
13. 如图1-1-4，在以点O 为圆心，AB 为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，AB=4，P 是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C 是满足||MA|﹣|MB||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P ． （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；
（Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F ．若△OEF 的面积等于22，求直线l 的方程．
图1-1-4
答案：（I ）以O 为原点，AB ，OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系， 则A （﹣2，0），B （2，0），D （0，2），P （3，1），
依题意得|MA|﹣|MB|=|PA|﹣|PB|=(2+3)2+12-(2-3)2+12
=22<|AB|=4，
∴曲线C 是以原点为中心，A ，B 为焦点的双曲线．
设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，
则c=2，2a=22⇒a 2=2，b 2=c 2﹣a 2=2，
∴曲线C 的方程为x 22-y 22
=1． （II ）依题意，可设直线l 的方程为y=kx+2，代入双曲线C 的方程并整理，
得（1﹣k 2）x 2
﹣4kx ﹣6=0…①．
∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E ，F ， ∴⎩⎨⎧1-k 2
≠0
△=(-4k)2+4³6(1-k 2)>0⇔⎩
⎨⎧k ≠±1- 3<k<3 ∴k ∈(-3，-1)∪(-1，1)∪(1，3)．
设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则由①式得x 1+x 2=4k 1-k 2，x 1x 2=-61-k 2， 于是|EF|=(x 1-x 2)2-(y 1-y 2)2=(1+k 2)( x 1-x 2)2=1+k 2²(x 1+x 2)2-4 x 1x 2=1+k 2²223-k 2|1-k 2|
， 而原点O 到直线l 的距离d=2 1+k 2， ∴S △OEF =12d ²|EF|=12²2 1+k 2²1+k 2²223-k 2|1-k 2|=223-k 2|1-k 2|
． 若S △OEF =22，即223-k 2|1-k 2|
=22⇔k 4-k 2-2=0， 解得k=±2，
故直线l 的方程为y=±2x+2.。