2014高考调研理科数学课时作业讲解课时作业66课时作业(六十六)1．抛物线y ＝2x 2的准线方程为( )A ．y ＝－18 B ．y ＝－14 C ．y ＝－12 D ．y ＝－1答案 A解析 由y ＝2x 2，得x 2＝12y ，故抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18，选A.2．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离是 ( )A.18B.14C.116 D ．1答案 A解析 由x 2＝14y 知，p ＝18，所以焦点到准线的距离为p ＝18.3．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是 ( )A ．y 2＝－92x 或x 2＝43y B ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43y D ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y 答案 A解析 设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2,3)，解得k ＝－92，m ＝43，∴y 2＝－92x 或x 2＝43y ，选A.4．焦点为(2,3)，准线是x ＋6＝0的抛物线方程为( )A ．(y －3)2＝16(x －2)B ．(y －3)2＝8(x ＋2)C ．(y －3)2＝16(x ＋2)D ．(y －3)2＝8(x －2)答案 C解析 设(x ，y )为抛物线上一点，由抛物线定义(x －2)2＋(y －3)2＝|x ＋6|，平方整理，得(y －3)2＝16(x ＋2)．5．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是 ( )A.|a |4B.|a |2 C ．|a | D ．－a 2答案 B解析 ∵y 2＝ax ，∴p ＝|a |2，即焦点到准线的距离为|a |2，故选B.6．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172 B ．3 C. 5 D.92答案 A解析 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，准线是直线l ，则点F 的坐标是(12，0)，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于(12)2＋22＝172，选A.7．(2013·皖南八校)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A (72，4)，则|P A |＋|PM |的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5答案 C解析 设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F (12，0)，又点A (72，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12，又|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|P A |＋|PM |≥92.故选C. 8．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 到x 轴的距离是( )A.1716 B ．1 C.78 D.1516答案 D解析 由y ＝4x 2，得x 2＝14y ，准线方程为y ＝－116，作MD 垂直于准线，垂足为D ，∴|MF |＝|MD |＝1＝y 0＋116.∴y 0＝1516，即点M 到x 轴的距离是1516.9．顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线上的一点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．－2B ．2或－2C ．4D ．4或－4答案 D解析 由题意知抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，准线方程为y ＝p 2，∴p2＋2＝4，∴p ＝4，∴抛物线方程为x 2＝－8y .代入(m ，－2)得m ＝±4，故选D.10．(2013·厦门质检)已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点( )A ．(2,0)B ．(1,0)C ．(0,1)D ．(0，－1)答案 B解析 因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)．所以选B.11．点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( )A. 2B. 3C. 5D. 6答案 C解析 求抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的交点⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝ba x ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pa 2b 2，y ＝2pa b ，所以2pa 2b 2＝p 2，c 2＝5a 2，e ＝5，选C.12.如图，过抛物线y 2＝4x 焦点的直线依次交抛物线和圆(x －1)2＋y 2＝1于A 、B 、C 、D 四点，则|AB |·|CD |＝( )A ．4B ．2C ．1 D.12答案 C解析 ∵|AB |·|CD |为定值，∴分析直线与x 轴垂直的情况，即可得到答案．∵圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，半径为1， ∴此时|AB |＝|CD |＝1. ∴|AB |·|CD |＝1，故选C.13．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点，且过A 、B 的抛物线方程是________．答案 y 2＝±36x解析 根据题意可知抛物线以x 轴为对称轴，当开口向右时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，设抛物线方程为y 2＝2px ，则有14＝2p ·32，所以p ＝143.抛物线方程为y 2＝36x ，同理可得，当开口向左时，抛物线方程为y 2＝－36x .14．一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝ax 上，另一个顶点在坐标原点，若这个三角形的面积为363，则a ＝________.答案 ±2 3解析 设正三角形边长为x ，则363＝12x 2sin60°. ∴x ＝12.当a >0时，将(63，6)代入 y 2＝ax 得a ＝2 3.当a <0时，将(－63，6)代入 y 2＝ax 得a ＝－23，故a ＝±2 3.15．已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．答案 2解析 y ＝ax 2－1变形为x 2＝1a (y ＋1)，此抛物线焦点坐标为(0，14a －1)，由题意14a －1＝0，∴a ＝14.∴抛物线为y ＝14x 2－1，令y ＝0，得x ＝±2，如图． 顶点A (0，－1)，|BC |＝4. ∴S △ABC ＝12|BC |·|AF |＝12×4×1＝2.16．抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程．解析 设抛物线y 2＝2px (p >0)的内接直角三角形为AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ；解方程组⎩⎨⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，可得点B 的坐标为(8p ，－4p )．∵|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p 24＋p 2＋(64p 2＋16p 2)＝325. ∴p ＝2，∴所求的抛物线方程为y 2＝4x .17．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q (6,0)，求此抛物线的方程．答案 y 2＝8x解析 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，其准线方程为x ＝－p2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 因为|AF |＋|BF |＝8， 所以x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8， 即x 1＋x 2＝8－p .因为Q (6,0)在线段AB 的中垂线上， 所以QA ＝QB ，即(x 1－6)2＋y 21＝(x 2－6)2＋y 22. 又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0. 因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2＝12－2p . 故8－p ＝12－2p . 所以p ＝4.所以所求抛物线方程是y 2＝8x .18．(2012·江西)已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|MA →＋MB →|＝OM →·(OA →＋OB →)＋2.(1)求曲线C 的方程；(2)点Q (x 0，y 0)(－2<x 0<2)是曲线C 上的动点，曲线C 在点Q 处的切线为l ，点P 的坐标是(0，－1)，l 与P A ，PB 分别交于点D ，E ，求△QAB 与△PDE 的面积之比．答案 (1)x 2＝4y (2)2解析 (1)由MA →＝(－2－x,1－y )，MB →＝(2－x,1－y )，得 |MA →＋MB →|＝(－2x )2＋(2－2y )2＝2y ＋2.化简得曲线C 的方程是x 2＝4y .(2)直线P A ，PB 的方程分别是y ＝－x －1，y ＝x －1，曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 02x －x 204，且与y 轴的交点为F (0，－x 204)，分别联立方程，得⎩⎨⎧ y ＝－x －1，y ＝x 02x －x 204，⎩⎨⎧y ＝x －1，y ＝x 02x －x 204解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 0－22，x E ＝x 0＋22，则x E －x D ＝2，|FP |＝1－x 204.故S △PDE ＝12|FP |·|x E －x D |＝12(1－x 204)·2＝4－x 204.而S △QAB ＝12·4·(1－x 204)＝4－x 202，则S △QAB S △PDE＝2.即△QAB 与△PDE 的面积之比为2.。