分数基本计算与比例初步
内容提要：
分数
比例
分数
分数的概念
把整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数如2
5
表示把整体平均分成5份，占其中的2份
分母表示把一个物体平均分成几份，分子是表示取其中的几份注意：分母不能为0
分数的种类
真分数：分子比分母小的分数，如2
3
假分数：分子比分母大的分数，如3
2
带分数：把假分数化成整数和真分数加在一起的分数，如3
2＝1＋
2
１
＝11
2
1 / 16
分数的性质
1．分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变
如2463
6
9
＝＝，
842100
5025
＝＝
2．约分与通分
42
50
25
＝
最简分数
通分：把多个分数的分母变成一样，如 2248
3412
⨯⨯＝＝
比较大小
33394
43
12
⨯⨯＝＝
注意：有时通分也可把分子变成一样
1．加减法
同分母加减法：分母不变，分子相加减，结果化为最简分数
异分母加减法：先通分，变为分母相同的分数，分子再相加减
如： 347
888＋＝ 23342761
917153153153
+=+=
2．乘除法
乘法：分子乘分子，分母乘分母 如 331231188882243⨯4⨯4=⨯====1⨯1
33123
8884010
443⨯4⨯=⨯===
55⨯5
除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数 如331218
8
824
2
343⨯4÷=⨯===4
3
⨯3
注意： 分数的乘除法运算过程中可以先约分
分数的四则混合运算的规律与整数一样
整体约分
连锁约分：44
33
22
1⨯⨯⨯=122⨯33⨯4
4⨯1=
整体约分：3333123123246369123(123)13526103915135(123)⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++＝＝33
(123)⨯++13⨯335(123)⨯⨯++2
5
＝
我们来看看分数的乘除法
计算下列各式：28157549⨯＝；315711
÷＝。
例2
先看看分数的加减法吧 ！ 计算下列各式：2747111111
+＝；127
35
28
-
＝。
例1
5 / 16
计算：1233
1(
1.5)1 1.919725
--⨯÷＝。
例4
直接计算太麻烦，有没有简单算法呢？ 计算下列各式：99123124
⨯＝；2010201020102011
÷＝。
例3
计算：⑴1111
2008(1)(1)(1)(1)2
3
4
1000
⨯+⨯+⨯+⨯⨯+
…＝； ⑵1324264839724129612424836124816
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯＝；
例5
比和比例初步
一、比的意义
1．比的定义：两个数相除又叫做两个数的比。
例：一面红旗，长3分米，宽2分米。
如何表示红旗的长和宽的关系呢？
⑴长是宽的几倍？
3
列式：3÷2＝
2
⑵宽是长的几倍？
2
列式：2÷3＝
3
总结：A是B的几倍＝A是B的几分之几÷B
有时我们也把这两个数量之间的关系说成：
3长和宽的比是3比2
3÷2＝
2
7 / 16
2233
÷＝
宽和长的比是2比3
例：
12
12:15121515
÷↑↑↑＝＝
前 后比项
项
值
2．比、除法和分数的区别和联系：
如：12∶15可以表示成12÷15，也可写为12
15，但仍读作：12比15
或15分之12。
3．比的基本性质：
比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数(0除外)，比值不
变。
4．最简比：比的前项和后项为两个互质的数 例：20∶48＝(20÷4)∶(48÷4)＝5∶12
二、比例的意义
9 / 16
1．比例的定义：表示两个比相等的式子叫做比例。
例：9612:154:512
8
＝＝
组成比例的四个数，叫做比例的项。
例：
2．比例的基本性质：
在以上3个比例中，我们可以发现：
12:154:5
12515460
96
9812672128
2.4:1.660:40 2.440 1.66096⇒⨯⨯⇒⨯⨯⇒⨯⨯＝ ＝＝＝＝＝＝＝＝
比例的基本性质：在比例中 内项积＝外项积
交叉相乘相等
3．解比例：求比例中的未知项，就叫做解比例。
例：
:1201:5
512011201524
x x x x ⨯⨯＝＝＝＝
4．比和比例的区别：
比的特征
⑴比是表示两个数相除的关系； ⑵比由两项组成(前项、后项)； ⑶任意两个数都能组成比。
比例的特征
⑴比例是表示两个比相等的关系；
⑵比例由四项组成(两个内项、两个外项)； ⑶任意四个数不一定都能组成比例。
5．正比例和反比例
⑴正比例：相对应的两个数的商一定(你大我就大)，这两个数就叫做成正比例
正比例关系表示：y÷x＝k（一定）
⑵反比例：相对应的两个数的积一定(你大我就小)，这两个数就叫做成反比例
反比例关系表示：x×y＝k（一定）
6．正比例和反比例的重点应用
行程问题：
⑴路程＝速度×时间
路程一定时，速度和时间成反比；
⑵时间＝路程÷速度
时间一定时，路程和速度成正比；
⑶速度＝路程÷时间
速度一定时，路程和时间成正比。
三角形问题：
⑴三角形面积＝底×高÷2
三角形面积一定时，底和高成反比；
⑵底＝三角形面积÷高×2
底一定时，三角形面积和高成正比；
⑶高＝三角形面积÷底×2
高一定时，三角形面积和底成正比。
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试试看解比例吧！
解下列比例：⑴():4358:129 ＝；⑵
32()
95361
＝
例7
学完了比和比例后让我们先来化简比吧 把下面比化成最简比：271148:60
:99
45
例6
计算：1111111
1248163264128643216842
++++++＝。
例
解比例：(
):2:34:5:() ＝
例9
解比例：⑴:(
)5:38a a ＝；⑵
2639
:1:1.537()
＝ 例8
13 / 16
例
计算：14117.636 2.6412.54
5
⨯+÷+⨯＝。
例
计算：317[100(0.625)22] 6.258
4
9
⨯+⨯÷－＝。
例
(2008年华杯赛决赛)
1
640149401621
34014360244
⨯+⨯+⨯+⨯+
＝。
例
111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)22339999
+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯－－…－＝。
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测试题
1．计算下列各式(第一届小学《数学报》数学竞赛)
11450()59⨯-=； 11450()59÷-=； ()1
450-3505
÷=。
2． 计算下列各式： 111111111
2345678256128643216842+++++++=。
3．111111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2
4
6
8
103579
+⨯+⨯+⨯+⨯+
⨯-⨯-⨯-⨯-= 。
4．下面4个数，能写成比例吗？如果能，请写出全部比例： 3.5,5,7,10
5．解比例：():9:1524:36:()
答案
1.40；1
5062
2
；500
2.
255 36
256
3.11 10
4.7:10，10:7，5:10，10:5
5.6；60。